قانون جمع احتمالات چیست؟

قانون جمع احتمالات دو فرمول را توصیف می‌کند: یکی برای احتمال وقوع یکی از دو رویداد متقابلاً انحصاری و دیگری برای احتمال وقوع دو رویداد غیرمتقابلاً انحصاری.

فرمول اول صرفاً مجموع احتمالات دو رویداد است. فرمول دوم مجموع احتمالات دو رویداد منهای احتمال وقوع همزمان هر دو رویداد است.

نکات کلیدی

• قانون جمع احتمالات شامل دو قانون یا فرمول است: یکی برای دو رویداد متقابلاً انحصاری و دیگری برای دو رویداد غیرمتقابلاً انحصاری.
• غیرمتقابلاً انحصاری به این معناست که مقداری همپوشانی بین دو رویداد مورد نظر وجود دارد و فرمول با کسر احتمال همپوشانی، P(Y و Z)، از مجموع احتمالات Y و Z این را جبران می‌کند.
• در تئوری، فرم اول قانون یک مورد خاص از فرم دوم است.

فرمول‌های قانون جمع احتمالات

از نظر ریاضی، احتمال دو رویداد متقابلاً انحصاری به صورت زیر می‌شود:

P(Y یا Z) = P(Y) + P(Z)

از نظر ریاضی، احتمال دو رویداد غیرمتقابلاً انحصاری به صورت زیر می‌شود:

P(Y یا Z) = P(Y) + P(Z) − P(Y و Z)

قانون جمع احتمالات چه چیزی به شما می‌گوید؟

برای توضیح قانون اول در قانون جمع احتمالات، یک تاس شش‌طرفه را در نظر بگیرید و شانس پرتاب عدد 3 یا 6 را بررسی کنید. از آنجا که شانس پرتاب عدد 3 یک ششم و شانس پرتاب عدد 6 نیز یک ششم است، شانس پرتاب عدد 3 یا 6 به صورت زیر است:

1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

برای توضیح قانون دوم، کلاسی را در نظر بگیرید که در آن 9 پسر و 11 دختر وجود دارند. در پایان ترم، 5 دختر و 4 پسر نمره B دریافت می‌کنند. اگر یک دانش‌آموز به طور تصادفی انتخاب شود، احتمال اینکه دانش‌آموز یا دختر باشد یا دانش‌آموز B باشد چیست؟ از آنجا که شانس انتخاب یک دختر 11 در 20، شانس انتخاب یک دانش‌آموز B 9 در 20، و شانس انتخاب یک دختر که دانش‌آموز B باشد 5 در 20 است، شانس انتخاب یک دختر یا یک دانش‌آموز B به صورت زیر است:

11/20 + 9/20 − 5/20 = 15/20 = 3/4

در واقع، این دو قانون به یک قانون واحد، یعنی قانون دوم، ساده می‌شوند. این به این دلیل است که در مورد اول، احتمال وقوع همزمان دو رویداد متقابلاً انحصاری صفر است. در مثال تاس، غیرممکن است که در یک پرتاب تاس هم عدد 3 و هم عدد 6 ظاهر شود. بنابراین، این دو رویداد متقابلاً انحصاری هستند.

انحصار متقابل

انحصار متقابل یک اصطلاح آماری است که دو یا چند رویداد را توصیف می‌کند که نمی‌توانند همزمان رخ دهند. این اصطلاح معمولاً برای توصیف وضعیتی استفاده می‌شود که وقوع یک نتیجه، نتیجه دیگر را کنار می‌زند. برای یک مثال ساده، پرتاب تاس را در نظر بگیرید. شما نمی‌توانید در یک پرتاب تاس به طور همزمان عدد 5 و 3 را بدست آورید. علاوه بر این، بدست آوردن عدد 3 در پرتاب اولیه هیچ تأثیری بر این ندارد که آیا پرتاب بعدی عدد 5 را به دست می‌آورد یا خیر. تمام پرتاب‌های یک تاس رویدادهای مستقلی هستند.