میانگین هندسی چیست؟

میانگین هندسی، میانگین یک مجموعه از حاصل‌ضرب‌ها است. تحلیلگران، مدیران پرتفوی و دیگران معمولاً از محاسبه‌ی میانگین هندسی برای تعیین نتایج عملکرد یک سرمایه‌گذاری یا پرتفوی استفاده می‌کنند.

از نظر فنی، میانگین هندسی به‌عنوان «ریشه‌ی nاُم حاصل‌ضرب n عدد» تعریف می‌شود. زمانی که با درصدها کار می‌کنیم باید از میانگین هندسی استفاده شود، زیرا درصدها از مقادیر مشتق می‌شوند؛ در حالی‌که میانگین حسابی استاندارد مستقیماً با مقادیر کار می‌کند.

نکات کلیدی

• میانگین هندسی میانگینی است که از طریق حاصل‌ضرب مقادیر محاسبه می‌شود.
• این میانگین برای سری‌هایی که دارای همبستگی متوالی هستند، به‌ویژه پرتفوی‌های سرمایه‌گذاری، مناسب‌تر است.
• بیشتر بازده‌ها در امور مالی، از جمله بازده اوراق قرضه، بازده سهام و صرف ریسک بازار، همبستگی دارند.
• برای مقادیر پرنوسان، میانگین هندسی با در نظر گرفتن اثرات ترکیب سال‌به‌سال، اندازه‌گیری دقیق‌تری از بازده واقعی ارائه می‌دهد و میانگین را هموار می‌کند.

درک میانگین هندسی

میانگین هندسی که گاهی به آن نرخ رشد مرکب سالانه (CAGR) یا نرخ بازدهی وزنی زمانی گفته می‌شود، میانگین نرخ بازده یک مجموعه از مقادیر است که با استفاده از حاصل‌ضرب آن‌ها محاسبه می‌شود.

به بیان ساده، میانگین هندسی چند مقدار را در هم ضرب می‌کند و سپس آن را به توان ۱/n می‌رساند.

این روش به دلایل مختلف ابزاری مهم برای محاسبه عملکرد پرتفوی است، یکی از مهم‌ترین دلایل این است که اثر ترکیب (Compounding) را در نظر می‌گیرد.

مثال ساده

اگر بخواهید میانگین هندسی بین اعداد ۲ و ۸ را محاسبه کنید:

• ابتدا ۲ × ۸ = ۱۶
• سپس ریشه دوم آن (چون ۲ عدد داریم) = ۴

اما زمانی که تعداد مقادیر زیاد باشد، استفاده از ماشین حساب یا نرم‌افزار ضروری است.

مزیت اصلی استفاده از میانگین هندسی این است که نیاز به دانستن مقدار سرمایه‌گذاری‌شده واقعی نیست. محاسبه کاملاً بر نرخ بازده‌ها تمرکز دارد و امکان مقایسه‌ی «سیب با سیب» بین دو گزینه‌ی سرمایه‌گذاری در بیش از یک دوره زمانی را فراهم می‌کند.

همچنین، میانگین هندسی همواره کمی کوچک‌تر از میانگین حسابی (میانگین ساده) خواهد بود.

فرمول و محاسبه با مثال

فرمول میانگین هندسی

μ g e o m e t r i c = [ ( 1 + R 1 ) ( 1 + R 2 ) … ( 1 + R n ) ] 1 / n − 1 μ_{geometric} = \left[ (1+R_1)(1+R_2)…(1+R_n) \right]^{1/n} - 1 μ g eo m e t r i c ​ = [ ( 1 + R 1 ​ ) ( 1 + R 2 ​ ) … ( 1 + R n ​ ) ] 1/ n − 1

که در آن:

• R 1 … R n R_1 … R_n R 1 ​ … R n ​ بازده‌های یک دارایی (یا سایر مشاهدات برای میانگین‌گیری) هستند.

محاسبه میانگین هندسی

فرض کنید پرتفوی شما در طول پنج سال بازده‌های زیر را داشته است:

• سال اول: ۵٪
• سال دوم: ۳٪
• سال سوم: ۶٪
• سال چهارم: ۲٪
• سال پنجم: ۴٪

با استفاده از فرمول:

[ ( 1 + .05 ) ( 1 + .03 ) ( 1 + .06 ) ( 1 + .02 ) ( 1 + .04 ) ] 1 / 5 − 1 [(1+.05)(1+.03)(1+.06)(1+.02)(1+.04)]^{1/5} - 1 [ 1.05 × 1.03 × 1.06 × 1.02 × 1.04 ] 1 / 5 − 1 [1.05 × 1.03 × 1.06 × 1.02 × 1.04]^{1/5} - 1 [ 1.2161 ] 0.2 − 1 = 0.0399 [1.2161]^{0.2} - 1 = 0.0399

پس میانگین هندسی پرتفوی برابر با ۳.۹۹٪ در طول پنج سال است که اندکی کمتر از میانگین حسابی است:

( 5 + 3 + 6 + 2 + 4 ) ÷ 5 = 4 % (5+3+6+2+4) ÷ 5 = 4\% ( 5 + 3 + 6 + 2 + 4 ) ÷ 5 = 4%

محاسبه میانگین هندسی در صفحه‌گسترده (Spreadsheet)

در Google Sheets می‌توانید از تابع GEOMEAN برای محاسبه استفاده کنید.

سپس در یک سلول خالی بنویسید:

نکته مهم: هرچه افق زمانی طولانی‌تر باشد، ترکیب اهمیت بیشتری پیدا می‌کند و استفاده از میانگین هندسی مناسب‌تر است.

پرسش‌های متداول

میانگین هندسی n جمله چیست؟

میانگین هندسی n جمله برابر است با حاصل‌ضرب آن جملات به توان ۱/n، که در آن n تعداد جملات است.

آیا می‌توان میانگین هندسی را با اعداد منفی محاسبه کرد؟

خیر — محاسبه میانگین هندسی با اعداد منفی غیرممکن است. برای استفاده از اعداد منفی باید آن‌ها را به نسبت تبدیل کنید. مثلاً اگر بازده سرمایه‌گذاری برابر با ۳٪- باشد، باید مقدار آن را به شکل 1 − 0.03 = 0.97 1 - 0.03 = 0.97 1 − 0.03 = 0.97 وارد کنید.

چگونه میانگین هندسی بین دو عدد را پیدا کنیم؟

برای محاسبه، دو عدد را در هم ضرب کرده و سپس ریشه دوم حاصل‌ضرب را بگیرید.

نتیجه‌گیری

در ریاضیات، میانگین هندسی نوعی میانگین است که گرایش مرکزی یک گروه از اعداد را نشان می‌دهد. در سرمایه‌گذاری، این یک معیار آماری است که با در نظر گرفتن اثرات ترکیب، می‌تواند بازده پرتفوی را مشخص کند.

میانگین هندسی به سرمایه‌گذاران کمک می‌کند تا درک بهتری از عملکرد پرتفوی خود به دست آورند و تصمیم بگیرند که آیا نیاز به تغییر در استراتژی سرمایه‌گذاری‌شان دارند یا خیر.