مجموع مربعات چیست؟

اصطلاح «مجموع مربعات» یک معیار آماری است که در تحلیل رگرسیون استفاده می‌شود و نشان می‌دهد نقاط داده تا چه اندازه در اطراف میانگین یا مقادیر پیش‌بینی‌شده پراکنده‌اند. مجموع مربعات کمک می‌کند تابعی که بهترین برازش را با داده‌ها دارد شناسایی شود، با اندازه‌گیری اینکه تا چه حد از مقادیر مشاهده‌شده منحرف می‌شود.

در تحلیل رگرسیون، هدف این است که مشخص شود یک سری داده تا چه اندازه می‌تواند به یک تابع برازش داده شود؛ تابعی که شاید بتواند توضیح دهد این سری داده چگونه تولید شده است. در دنیای مالی، مجموع مربعات می‌تواند برای تعیین واریانس در ارزش دارایی‌ها استفاده شود.

نکات کلیدی

• مجموع مربعات انحراف نقاط داده از مقدار میانگین را اندازه‌گیری می‌کند.
• مجموع مربعات بالاتر نشان‌دهنده پراکندگی بیشتر و در نتیجه واریانس بالاتر است، در حالی که نتیجه پایین‌تر نشان‌دهنده پراکندگی کمتر است.
• برای محاسبه مجموع مربعات: میانگین را از نقاط داده کم کنید، اختلاف‌ها را به توان دو برسانید و همه را با هم جمع کنید.
• سه نوع مجموع مربعات وجود دارد: کل (Total)، باقیمانده (Residual)، و رگرسیون (Regression).
• سرمایه‌گذاران می‌توانند از مجموع مربعات برای تصمیم‌گیری بهتر در مورد سرمایه‌گذاری‌های خود استفاده کنند.

درک مجموع مربعات

مجموع مربعات نشان می‌دهد که مجموعه‌ای از نقاط داده تا چه حد از میانگین پراکنده است. این مفهوم همچنین «واریانس» نامیده می‌شود. محاسبه آن با جمع زدن اختلاف‌های مربعی‌شده هر نقطه داده انجام می‌شود. برای محاسبه، فاصله هر نقطه داده تا «خط برازش بهترین» (Line of Best Fit) را به توان دو رسانده و همه را جمع می‌کنیم. خط برازش بهترین این مقدار را به حداقل می‌رساند.

مجموع مربعات پایین نشان‌دهنده تغییرپذیری کم بین مجموعه داده‌هاست، در حالی که مقدار بالا نشان‌دهنده تغییرپذیری بیشتر است. تغییرپذیری به معنای اختلاف هر مجموعه داده از میانگین است.

در آمار، مجموع مربعات برای محاسبه واریانس و انحراف معیار استفاده می‌شود که خود در تحلیل رگرسیون کاربرد دارند. تحلیلگران و سرمایه‌گذاران می‌توانند از این تکنیک‌ها برای تصمیم‌گیری بهتر استفاده کنند، اگرچه این مبتنی بر فرض عملکرد گذشته است. مثلاً این معیار می‌تواند به شما نشان دهد سطح نوسان در قیمت سهام چقدر است یا چگونه قیمت سهام دو شرکت با هم مقایسه می‌شود.

فرمول مجموع مربعات

برای یک مجموعه X با n داده:

S S = ∑ i = 0 n ( X i − X ˉ ) 2 SS = \sum_{i=0}^{n}(X_i - \bar{X})^2

که در آن:

• X i X_i X i ​ : داده iام در مجموعه
• X ˉ \bar{X} X ˉ : میانگین کل داده‌ها
• ( X i − X ˉ ) (X_i - \bar{X}) ( X i ​ − X ˉ ) : انحراف هر داده از میانگین

روش محاسبه مجموع مربعات

• همه نقاط داده را جمع‌آوری کنید.
• میانگین/متوسط را تعیین کنید.
• میانگین را از هر نقطه داده کم کنید.
• هر اختلاف را به توان دو برسانید.
• اعداد به‌دست‌آمده را جمع کنید.

انواع مجموع مربعات

۱. مجموع مربعات کل (TSS)

فرمولی که در بالا بیان شد برای مجموع مربعات کل استفاده می‌شود.

۲. مجموع مربعات باقیمانده (RSS یا SSE)

اگر خط رگرسیون نتواند از همه نقاط داده عبور کند، بخشی از تغییرپذیری توضیح داده نمی‌شود. این بخش «مجموع مربعات باقیمانده» نام دارد.

S S E = ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 SSE = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2 که در آن:

• y i y_i y i ​ : مقدار مشاهده‌شده
• y ^ i \hat{y}_i y ^ ​ i ​ : مقدار برآوردی توسط خط رگرسیون

۳. مجموع مربعات رگرسیون (SSR)

این مقدار نشان‌دهنده رابطه بین داده‌های مدل‌شده و مدل رگرسیون است. SSR پایین نشان‌دهنده برازش بهتر است.

S S R = ∑ i = 1 n ( y ^ i − y ˉ ) 2 SSR = \sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i - \bar{y})^2 که در آن:

• y ^ i \hat{y}_i y ^ ​ i ​ : مقدار برآوردی توسط رگرسیون
• y ˉ \bar{y} y ˉ ​ : میانگین نمونه

واقعیت مهم:

اگر صرفاً مجموع انحراف‌ها را بدون توان دو جمع کنیم، نتیجه نزدیک به صفر خواهد بود، زیرا انحراف‌های منفی و مثبت تقریباً یکدیگر را خنثی می‌کنند. بنابراین برای داشتن عددی واقعی‌تر باید انحراف‌ها را به توان دو رساند. مجموع مربعات همیشه عددی مثبت است.

محدودیت‌های استفاده از مجموع مربعات

برای تصمیم‌گیری درباره خرید یک سهم، به مشاهدات بسیار بیشتری نیاز است. با افزایش تعداد داده‌ها، مجموع مربعات نیز افزایش می‌یابد چون داده‌ها گسترده‌تر می‌شوند.

• واریانس : میانگین مجموع مربعات (مجموع مربعات ÷ تعداد داده‌ها).
• انحراف معیار : ریشه دوم واریانس.

روش‌های تحلیل رگرسیون که از مجموع مربعات استفاده می‌کنند:

• روش حداقل مربعات خطی (Linear Least Squares).
• روش حداقل مربعات غیرخطی (Nonlinear Least Squares).

مثال:

فرض کنید داده‌های قیمت بسته شدن سهم مایکروسافت (MSFT) طی ۵ روز:

374.01، 374.77، 373.94، 373.61، 373.40

میانگین:

1869.73 5 = 373.95 \frac{1869.73}{5} = 373.95

محاسبه SS:

S S = ( 374.01 − 373.95 ) 2 + ( 374.77 − 373.95 ) 2 + ( 373.94 − 373.95 ) 2 + ( 373.61 − 373.95 ) 2 + ( 373.40 − 373.95 ) 2 SS = (374.01 - 373.95)^2 + (374.77 - 373.95)^2 + (373.94 - 373.95)^2 + (373.61 - 373.95)^2 + (373.40 - 373.95)^2 S S = 1.0942 SS = 1.0942

این نشان می‌دهد که تغییرپذیری قیمت سهام MSFT در این دوره بسیار پایین است.

جمع‌بندی

مجموع مربعات ابزاری آماری برای اندازه‌گیری تغییرپذیری داده‌ها از میانگین است. در مالی، این مفهوم برای سنجش نوسانات دارایی‌ها یا مقایسه سرمایه‌گذاری‌ها استفاده می‌شود. مجموع پایین به معنای نوسان کم و ثبات بیشتر است، در حالی که مجموع بالاتر به معنای نوسان بیشتر است. با این حال باید توجه داشت که این شاخص مبتنی بر داده‌های گذشته است و تضمینی برای آینده ارائه نمی‌دهد.