چولگی چیست؟

چولگی میزان عدم تقارن در مجموعه‌ای از مشاهدات را اندازه‌گیری می‌کند، جایی که فعالیت در یک محدوده متمرکز است و در محدوده دیگر کمتر است.

توزیع نرمال هیچ چولگی را نشان نمی‌دهد و اغلب به صورت یک منحنی زنگوله‌ای نمایش داده می‌شود. چولگی درجه عدم تقارن مشاهده‌شده در یک مجموعه داده است. اگر میانگین بالاتر از میانه باشد، توزیع به سمت راست (مثبت) چولگی دارد، و اگر میانگین پایین‌تر از میانه باشد، توزیع به سمت چپ (منفی) چولگی دارد.

نکات کلیدی

• توزیع‌ها می‌توانند مثبت و به سمت راست یا منفی و به سمت چپ چولگی داشته باشند.
• چولگی بالا می‌تواند نشان‌دهنده وجود نقاط پرت یا کشیدگی (kurtosis) باشد.
• دو روش برای اندازه‌گیری چولگی شامل ضرایب اول و دوم چولگی پیرسون هستند.

انواع چولگی

چولگی منفی یا به سمت چپ به دم بلندتر یا ضخیم‌تر در سمت چپ توزیع اشاره دارد، در حالی که چولگی مثبت یا به سمت راست به دم بلندتر یا ضخیم‌تر در سمت راست اشاره دارد. این دو نوع چولگی جهت یا وزن توزیع را نشان می‌دهند. سه توزیع احتمالی زیر به ترتیب افزایشی به سمت راست چولگی دارند. میانگین داده‌های با چولگی مثبت بیشتر از میانه خواهد بود، زیرا نقاط پرت مثبت میانگین را به سمت بالا می‌کشند. در توزیع با چولگی منفی، میانگین داده‌های با چولگی منفی کمتر از میانه خواهد بود. توزیع با چولگی مثبت یا به سمت راست به این معناست که دم آن در سمت راست نسبت به سمت چپ برجسته‌تر است. از آنجا که توزیع مثبت است، فرض بر این است که مقدار آن مثبت است. به این ترتیب، بیشتر مقادیر در سمت چپ میانگین قرار می‌گیرند. این به این معناست که مقادیر شدیدتر در سمت راست قرار دارند. چولگی منفی یا به سمت چپ به این معناست که دم در سمت چپ نسبت به سمت راست برجسته‌تر است. در چولگی منفی، بیشتر مقادیر در سمت راست میانگین یافت می‌شوند. به این ترتیب، مقادیر شدیدتر در سمت چپ قرار دارند.

مهم

چولگی صفر به این معناست که نمودار داده متقارن است و توزیع داده نرمال را نشان می‌دهد، صرف‌نظر از اینکه دم‌های توزیع چقدر بلند یا ضخیم باشند.

اندازه‌گیری چولگی

دو روش برای اندازه‌گیری چولگی شامل ضرایب اول و دوم چولگی پیرسون هستند. ضریب اول چولگی پیرسون، یا چولگی مد پیرسون، مد را از میانگین کم می‌کند و تفاوت را بر انحراف معیار تقسیم می‌کند. ضریب دوم چولگی پیرسون، یا چولگی میانه پیرسون، میانه را از میانگین کم می‌کند، تفاوت را در سه ضرب می‌کند و حاصل را بر انحراف معیار تقسیم می‌کند.

فرمول چولگی پیرسون

[ Sk_1 = \frac{\bar{X} - Mo}{s} ] [ Sk_2 = \frac{3(\bar{X} - Md)}{s} ] که در آن:

• (Sk_1): ضریب اول چولگی پیرسون و (Sk_2) ضریب دوم
• (s): انحراف معیار نمونه
• (\bar{X}): مقدار میانگین
• (Mo): مقدار مد (نما)
• (Md): مقدار میانه

ضریب اول چولگی پیرسون زمانی استفاده می‌شود که داده‌ها مد قوی داشته باشند. ضریب دوم چولگی ممکن است در صورتی که داده‌ها مد ضعیف یا چندین مد داشته باشند، ترجیح داده شود، زیرا به مد به‌عنوان معیاری از گرایش مرکزی وابسته نیست.

نکته:

چولگی به شما می‌گوید که نقاط پرت کجا رخ می‌دهند، اگرچه به شما نمی‌گوید که چند نقطه پرت وجود دارد.

چولگی به سرمایه‌گذاران چه می‌گوید؟

سرمایه‌گذاران هنگام قضاوت درباره توزیع بازده به چولگی توجه می‌کنند، زیرا این معیار، مانند کشیدگی، به جای تمرکز صرف بر میانگین، به مقادیر شدید مجموعه داده توجه دارد. سرمایه‌گذاران کوتاه‌مدت و میان‌مدت به مقادیر شدید نگاه می‌کنند زیرا بعید است که موقعیت را به اندازه کافی طولانی نگه دارند تا مطمئن شوند که میانگین نتیجه خواهد داد. سرمایه‌گذاران معمولاً از انحراف معیار برای پیش‌بینی بازده‌های آینده استفاده می‌کنند، اما انحراف معیار فرض می‌کند که توزیع نرمال است. از آنجا که تعداد کمی از توزیع‌های بازده نرمال به نظر می‌رسند، چولگی معیار بهتری برای پیش‌بینی عملکرد است. ریسک چولگی افزایش ریسک ظهور یک نقطه داده با چولگی بالا در یک توزیع چولگی‌دار است. بسیاری از مدل‌های مالی که سعی در پیش‌بینی عملکرد آینده یک دارایی دارند، فرض می‌کنند که توزیع نرمال است. اگر داده‌ها چولگی داشته باشند، این مدل همیشه ریسک چولگی را در پیش‌بینی‌های خود کمتر از حد واقعی برآورد می‌کند. هرچه داده‌ها چولگی بیشتری داشته باشند، این مدل مالی دقت کمتری خواهد داشت.

نمونه‌ای از چولگی

یک نمونه رایج از چولگی، قمار است. بسیاری از بازی‌های قمار شامل شانس بالایی برای ضرر دارند، اما شانس نادری برای پرداخت بسیار بالا. یک شرط تک‌شماره‌ای در بازی رولت را در نظر بگیرید: بازیکن ۱۰۰ دلار روی یکی از ۳۸ شماره (چرخ‌های اروپایی ۳۷ شماره دارند) می‌گذارد. اگر توپ روی شماره آن‌ها فرود آید، آن‌ها ۳۵۰۰ دلار به علاوه شرط اولیه خود دریافت می‌کنند. در غیر این صورت، بازیکن ۱۰۰ دلار از دست می‌دهد. اکثر چرخش‌ها منجر به ضرر می‌شوند، اما میانگین ضرر تنها حدود ۵٪ است. به دلیل شانس نادر پرداخت بالا، مجموعه نتایج ممکن به شدت به سمت راست چولگی دارد.

توضیح به زبان ساده

چولگی میزان انحراف در مجموعه‌ای از اعداد را اندازه‌گیری می‌کند. چولگی به سمت راست به این معناست که میانگین بالاتر یا در سمت راست بیشتر نقاط داده است. چولگی به سمت چپ به این معناست که میانگین پایین‌تر یا در سمت چپ بیشتر داده‌ها است. چولگی قوی می‌تواند به این معنا باشد که چند مقدار شدید، میانگین را به سمت بالا یا پایین می‌کشند. اگر چولگی وجود نداشته باشد، توزیع اعداد در هر دو طرف میانگین یکسان است. سرمایه‌گذاران به چولگی نگاه می‌کنند تا بازده‌های احتمالی سرمایه‌گذاری‌هایشان را درک کنند. برخی دارایی‌ها بازده مورد انتظار مثبتی دارند، اما درجه چولگی بالایی دارند. این می‌تواند به این معنا باشد که احتمال بالایی وجود دارد که سرمایه‌گذار پول خود را از دست بدهد، اما احتمال کمی برای بازده بالا وجود دارد.

چولگی در اقتصاد کجا مشهود است؟

بازار سهام گسترده اغلب به‌عنوان دارای توزیعی با چولگی منفی در نظر گرفته می‌شود. این ایده وجود دارد که بازار اغلب بازده مثبت کوچکی ارائه می‌دهد و ضررهای منفی بزرگی دارد. با این حال، مطالعات نشان داده‌اند که سهام یک شرکت خاص ممکن است به سمت چپ چولگی داشته باشد. نمونه رایج چولگی در توزیع درآمد خانوارها در ایالات متحده نمایش داده می‌شود.

چه چیزی باعث چولگی می‌شود؟

چولگی نشان‌دهنده مجموعه داده‌ای است که فعالیت در یک محدوده به شدت متمرکز است و در محدوده دیگر کمتر متمرکز است. تصور کنید امتیازات در یک مسابقه پرش طول المپیک اندازه‌گیری می‌شوند. بسیاری از پرش‌کنندگان احتمالاً مسافت‌های طولانی‌تری خواهند پرید، در حالی که تعداد کمتری مسافت‌های کوتاه‌تری خواهند پرید. این اغلب توزیعی با چولگی به سمت راست ایجاد می‌کند. بنابراین، رابطه بین نقاط داده و تعداد دفعات وقوع آن‌ها باعث چولگی می‌شود.

آیا چولگی نرمال است؟

چولگی معمولاً هنگام تحلیل مجموعه‌های داده یافت می‌شود، زیرا موقعیت‌هایی وجود دارد که چولگی صرفاً بخشی از مجموعه داده مورد تحلیل است. به عنوان مثال، میانگین طول عمر انسان را در نظر بگیرید. از آنجا که اکثر مردم پس از رسیدن به سنین بالا فوت می‌کنند، افراد کمتری در سنین جوانی از دنیا می‌روند. در این مورد، چولگی مورد انتظار و نرمال است.

نتیجه‌گیری

چولگی یک معیار آماری است که نشان می‌دهد آیا یک توزیع تحریف‌شده یا نامتقارن است. اگر به سمت راست چولگی داشته باشد، مقادیر بالایی بیشتر از مقادیر پایین هستند. اگر برعکس باشد و دم در سمت چپ برجسته‌تر باشد، چولگی منفی است.