مدل Heath-Jarrow-Morton چیست؟

مدل Heath-Jarrow-Morton، که به اختصار مدل HJM نامیده می‌شود، برای مدل‌سازی نرخ‌های بهره آتی (forward interest rates) استفاده می‌شود. این نرخ‌ها سپس با ساختار زمانی موجود نرخ‌های بهره مدل می‌شوند تا قیمت‌های مناسب برای اوراق بهادار حساس به نرخ بهره، مانند اوراق قرضه یا سواپ‌ها، تعیین شود.

نکات کلیدی

• مدل HJM برای مدل‌سازی نرخ‌های بهره آتی با استفاده از معادله دیفرانسیل که امکان تصادفی بودن را فراهم می‌کند، استفاده می‌شود.
• این نرخ‌ها سپس با ساختار زمانی موجود نرخ بهره مدل می‌شوند تا قیمت مناسب اوراق بهادار حساس به نرخ بهره تعیین گردد.
• امروزه این مدل عمدتاً توسط آربیتراژگران برای شناسایی فرصت‌های آربیتراژ و تحلیلگرانی که قیمت‌گذاری مشتقات انجام می‌دهند، استفاده می‌شود.

فرمول مدل HJM

به طور کلی، مدل HJM و مدل‌های مبتنی بر آن از فرمول زیر پیروی می‌کنند:

که در آن:

• d f ( t , T ) df(t,T) df ( t , T ) : نرخ بهره آتی فوری اوراق قرضه صفر کوپنی با سررسید T T T است و فرض می‌شود که از معادله دیفرانسیل تصادفی فوق پیروی می‌کند.
• α , σ \alpha, \sigma α , σ : مقادیر سازگار (adapted)
• W W W : حرکت براونی (Brownian motion) تحت فرض ریسک‌نوترال (risk-neutral assumption)

مدل HJM چه اطلاعاتی ارائه می‌دهد؟

مدل HJM یک مدل بسیار نظری است و در سطح پیشرفته تحلیل مالی استفاده می‌شود. این مدل عمدتاً توسط آربیتراژگران برای یافتن فرصت‌های آربیتراژ و تحلیلگرانی که قیمت‌گذاری مشتقات انجام می‌دهند، استفاده می‌شود.

مدل HJM نرخ‌های بهره آتی را پیش‌بینی می‌کند، که نقطه شروع آن مجموع اصطلاحات رانش (drift terms) و اصطلاحات انتشار (diffusion terms) است. رانش نرخ آتی توسط نوسانات هدایت می‌شود، که به آن «شرط رانش HJM» گفته می‌شود. به طور ساده، هر مدل نرخ بهره‌ای که توسط تعداد محدودی حرکت براونی هدایت شود، می‌تواند به عنوان مدل HJM در نظر گرفته شود.

مدل HJM بر اساس تحقیقات اقتصاددانان David Heath ، Robert Jarrow و Andrew Morton در دهه ۱۹۸۰ است. این سه نفر مجموعه‌ای از مقالات مهم در اواخر دهه ۱۹۸۰ و اوایل دهه ۱۹۹۰ منتشر کردند که پایه‌های این چارچوب را شکل دادند، از جمله:

• "Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A Discrete Time Approximation"
• "Contingent Claims Valuation with a Random Evolution of Interest Rates"
• "Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation"

مدل‌های مشتق شده از چارچوب HJM

چندین مدل دیگر بر اساس چارچوب HJM ایجاد شده‌اند. همه این مدل‌ها به دنبال پیش‌بینی کل منحنی نرخ بهره آتی هستند، نه فقط نرخ کوتاه‌مدت یا نقطه‌ای دیگر از منحنی. یکی از بزرگترین چالش‌های مدل HJM این است که ابعاد آن نامتناهی است و محاسبه آن تقریباً غیرممکن است. مدل‌های مختلفی تلاش کرده‌اند HJM را به شکل حالت محدود (finite state) بیان کنند.

مدل HJM و قیمت‌گذاری اختیار معامله (Option Pricing)

مدل HJM در قیمت‌گذاری اختیار معامله نیز استفاده می‌شود، که به معنای یافتن ارزش منصفانه یک قرارداد مشتقه است. مؤسسات معاملاتی ممکن است از این مدل‌ها برای قیمت‌گذاری اختیار معامله‌ها استفاده کنند تا گزینه‌های کمتر یا بیش از حد ارزش‌گذاری شده را شناسایی کنند.

مدل‌های قیمت‌گذاری اختیار معامله، مدل‌های ریاضی هستند که از ورودی‌های شناخته‌شده و مقادیر پیش‌بینی شده، مانند نوسانات ضمنی (implied volatility)، برای تعیین ارزش نظری اختیارها استفاده می‌کنند. معامله‌گران از مدل‌های خاصی برای تعیین قیمت در زمان مشخص استفاده کرده و محاسبه ارزش را بر اساس تغییرات ریسک به‌روز می‌کنند.

برای مدل HJM، برای محاسبه ارزش یک سواپ نرخ بهره ، اولین گام ایجاد یک منحنی تنزیل (discount curve) بر اساس قیمت‌های اختیار فعلی است. از آن منحنی تنزیل، نرخ‌های آتی به دست می‌آیند. سپس باید نوسان نرخ‌های آتی وارد شود و اگر نوسان شناخته شده باشد، رانش (drift) قابل تعیین است.