توزیع یکنواخت چیست؟

توزیع یکنواخت چیست؟

در آمار، توزیع‌های احتمالی به شما کمک می‌کنند تا احتمال وقوع یک رویداد در آینده را تعیین کنید، یعنی احتمال رخ دادن چیزی. توزیع یکنواخت نوعی توزیع احتمالی است که در آن احتمال در کل بازه مقادیر ممکن ثابت باقی می‌ماند (به عبارت دیگر، همه نتایج به‌طور یکسان محتمل هستند).

برای مثال، یک دسته کارت بازی انتظار می‌رود توزیع یکنواختی داشته باشد، زیرا احتمال کشیدن کارت دل، گشنیز، خشت یا پیک به یک اندازه است. همچنین، یک سکه انتظار توزیع یکنواختی دارد، زیرا شانس به دست آوردن شیر یا خط برابر است.

توزیع یکنواخت می‌تواند به‌صورت یک خط افقی مستقیم تجسم شود. برای پرتاب سکه، شیر یا خط هر کدام 50٪ احتمال رخ دادن دارند (p = 0.50)، بنابراین در نمودار، خطی از محور y در نقطه 0.50 ترسیم می‌شود.

نکات کلیدی

• در توزیع یکنواخت، همه نتایج ممکن به‌طور یکسان محتمل هستند.
• در توزیع یکنواخت گسسته، نتایج گسسته هستند و احتمال یکسانی دارند.
• در توزیع یکنواخت پیوسته، نتایج پیوسته و بی‌نهایت هستند.
• در توزیع نرمال، داده‌ها در نزدیکی میانگین (متوسط) بیشتر رخ می‌دهند تا در فواصل دورتر از آن.
• توزیع‌های یکنواخت را می‌توان روی نمودارها ترسیم کرد.

درک توزیع‌های یکنواخت

دو نوع توزیع یکنواخت وجود دارد: گسسته و پیوسته.

توزیع‌های یکنواخت گسسته

نتایج ممکن از پرتاب یک تاس، نمونه‌ای از توزیع یکنواخت گسسته را نشان می‌دهد. می‌توان 1، 2، 3، 4، 5 یا 6 را به دست آورد، اما امکان به دست آوردن اعدادی مانند 2.3، 4.7 یا 5.5 وجود ندارد. بنابراین، پرتاب تاس یک توزیع گسسته با احتمال 1/6 برای هر نتیجه ایجاد می‌کند. تنها شش مقدار ممکن وجود دارد و هیچ مقداری بین آن‌ها نیست. امکانات محدود هستند.

نکته: اصطلاح «گسسته» در آمار به متغیرهایی اشاره دارد که دارای مقادیر منفرد، قابل‌شمارش و محدود هستند.

توزیع‌های یکنواخت پیوسته

توزیع‌های یکنواخت پیوسته امکانات توزیعی بی‌نهایت دارند. یک مولد اعداد تصادفی ایده‌آل به‌عنوان یک توزیع یکنواخت پیوسته در نظر گرفته می‌شود. در این نوع توزیع، هر نقطه در بازه پیوسته بین 0.0 تا 1.0 شانس برابری برای ظاهر شدن دارد، با این حال تعداد نقاط بین 0.0 و 1.0 بی‌نهایت است.

چندین توزیع پیوسته مهم دیگر نیز وجود دارند، مانند توزیع نرمال، کای‌دو (Chi-square) و توزیع تی‌استودنت.

تحلیل توزیع

همچنین چندین تابع تولید داده یا تحلیل داده مرتبط با توزیع‌ها وجود دارند که به توضیح متغیرها و واریانس آن‌ها در یک مجموعه داده کمک می‌کنند. این توابع شامل تابع چگالی احتمال، چگالی تجمعی و توابع مولد گشتاور هستند.

تجسم توزیع‌های یکنواخت

توزیع راه ساده‌ای برای تجسم یک مجموعه داده است. می‌توان آن را به‌صورت نمودار یا فهرست نشان داد و نشان می‌دهد که کدام مقادیر یک متغیر تصادفی شانس کمتری یا بیشتری برای رخ دادن دارند.

در توزیع یکنواخت، هر مقدار در مجموعه مقادیر ممکن، احتمال یکسانی برای رخ دادن دارد. هنگامی که به‌صورت نمودار میله‌ای یا خطی نمایش داده می‌شود، این توزیع برای هر نتیجه ممکن ارتفاع یکسانی دارد. به این ترتیب، شبیه یک مستطیل به نظر می‌رسد و به همین دلیل گاهی به‌عنوان توزیع مستطیلی توصیف می‌شود.

اگر به احتمال کشیدن یک خال خاص از دسته کارت‌های بازی فکر کنید، شانس تصادفی اما برابری برای کشیدن دل یا پیک وجود دارد، یعنی 1/4 یا 25٪ (زیرا چهار خال وجود دارد).

پرتاب یک تاس یکی از شش عدد را به دست می‌دهد: 1، 2، 3، 4، 5 یا 6. از آنجا که تنها 6 نتیجه ممکن وجود دارد، احتمال به دست آوردن هر یک از آن‌ها 16.67٪ (1/6) است. هنگامی که روی نمودار ترسیم می‌شود، توزیع به‌صورت یک خط افقی نشان داده می‌شود که هر نتیجه ممکن روی محور x و در نقطه ثابت احتمال روی محور y قرار دارد.

توزیع یکنواخت توزیع یکنواخت یک تاس شش‌ وجهی. تصویر از جولی بنگ © اینوستوپدیا 2020

مثال توزیع یکنواخت

یک دسته کارت سنتی شامل 52 کارت است. همچنین در این دسته چهار خال وجود دارد: دل، خشت، گشنیز و پیک. هر خال شامل آس، دو، سه، چهار، پنج، شش، هفت، هشت، نه، ده، سرباز، بی‌بی و شاه است. این دسته همچنین شامل دو کارت جوکر است. با این حال، برای این مثال، جوکرها و کارت‌های تصویری (سرباز، بی‌بی، شاه) را نادیده می‌گیریم و فقط روی کارت‌های شماره‌دار هر خال تمرکز می‌کنیم. در نتیجه، 40 کارت باقی می‌ماند که مجموعه‌ای از داده‌های گسسته را تشکیل می‌دهند.

فرض کنید می‌خواهید احتمال کشیدن کارت دو دل از این دسته اصلاح‌شده را بدانید. احتمال کشیدن دو دل 1/40 یا 2.5٪ است. هر کارت منحصربه‌فرد است. بنابراین، احتمال کشیدن هر یک از کارت‌های دسته یکسان است.

حال، بیایید احتمال کشیدن یک کارت دل از دسته را در نظر بگیریم. احتمال به‌طور قابل‌توجهی بالاتر است. چرا؟ زیرا اکنون فقط به خال‌های موجود در دسته توجه داریم. از آنجا که چهار خال وجود دارد و هر خال تعداد یکسانی کارت دارد، احتمال کشیدن یک کارت دل 1/4 یا 25٪ است.

توزیع یکنواخت در برابر توزیع نرمال

برخی از رایج‌ترین توزیع‌های احتمالی عبارتند از:

• یکنواخت گسسته
• دوجمله‌ای
• یکنواخت پیوسته
• نرمال
• نمایی

توزیع نرمال

یکی از پرکاربردترین توزیع‌ها، توزیع نرمال است که اغلب به‌صورت منحنی زنگوله‌ای نشان داده می‌شود. توزیع‌های نرمال نشان می‌دهند که داده‌های پیوسته چگونه توزیع شده‌اند و بیشتر داده‌ها را در نزدیکی میانگین (متوسط) نشان می‌دهند.

در توزیع نرمال، مساحت زیر منحنی برابر با یک است. 68.27٪ از کل داده‌ها در یک انحراف معیار (میزان پراکندگی اعداد) از میانگین قرار دارند. 95.45٪ از داده‌ها در دو انحراف معیار از میانگین و حدود 99.73٪ از داده‌ها در سه انحراف معیار از میانگین قرار دارند. با دور شدن نقاط داده از میانگین، فراوانی رخداد داده‌ها کاهش می‌یابد.

توزیع یکنواخت

توزیع یکنواخت گسسته نشان می‌دهد که متغیرها در یک بازه، احتمال یکسانی برای رخ دادن دارند. هیچ تغییری در نتایج محتمل وجود ندارد و داده‌ها گسسته هستند، نه پیوسته. شکل آن شبیه مستطیل است، نه زنگوله توزیع نرمال. با این حال، مانند توزیع نرمال، مساحت زیر نمودار برابر با یک است.

توضیح ساده‌شده

با توزیع یکنواخت، احتمال به دست آوردن هر نتیجه‌ای مانند نتیجه دیگر است. برای مثال، یک تاس شش‌وجهی را در نظر بگیرید. به همان اندازه که ممکن است 1 بیاید، احتمال آمدن 2 (یا 3، 4، 5 یا 6) نیز وجود دارد.

فرمول توزیع یکنواخت چیست؟

فرمول توزیع یکنواخت گسسته به این صورت است:

P x = 1 n P_x = \frac{1}{n}

که در آن:

• P x P_x ​ : احتمال یک مقدار گسسته
• n n : تعداد مقادیر در بازه

آیا توزیع یکنواخت، نرمال است؟

خیر، توزیع یکنواخت نرمال نیست. توزیع نرمال، که به نحوه توزیع داده‌ها حول میانگین (متوسط) اشاره دارد، نشان می‌دهد که احتمال رخ دادن یک متغیر در نزدیکی میانگین بیشتر از متغیری است که از میانگین دور است. احتمال رخداد در داده‌های نرمال یکنواخت نیست، در حالی که در توزیع یکنواخت ثابت است.

انتظار توزیع یکنواخت چیست؟

انتظار در توزیع یکنواخت این است که همه نتایج ممکن احتمال یکسانی دارند. احتمال برای یک متغیر همانند متغیر دیگر است.

نتیجه‌گیری

توزیع یکنواخت نوعی توزیع احتمالی است که در آمار استفاده می‌شود. توزیع یکنواخت یا مستطیلی، توزیعی است که در آن همه نتایج ممکن محدود و به‌طور یکسان محتمل هستند. برای مثال، پرتاب یک تاس تنها شش نتیجه ممکن دارد و هر نتیجه شانس 1/6 برای رخ دادن دارد.