رگرسیون غیرخطی چیست؟

رگرسیون غیرخطی نوعی تحلیل رگرسیون است که در آن داده‌ها به یک مدل تطبیق داده می‌شوند و سپس به صورت یک تابع ریاضی بیان می‌شوند. در رگرسیون خطی ساده ، دو متغیر (X و Y) با یک خط مستقیم (y = mx + b) به هم مرتبط می‌شوند، در حالی که در رگرسیون غیرخطی ، این ارتباط به صورت یک رابطه غیرخطی (منحنی) است.

هدف مدل این است که مجموع مربعات تا حد ممکن کوچک شود. مجموع مربعات معیاری است که نشان می‌دهد مشاهدات Y تا چه حد از تابع غیرخطی (منحنی) که برای پیش‌بینی Y استفاده شده، فاصله دارند. این معیار با محاسبه تفاوت بین تابع غیرخطی تطبیق‌شده و هر نقطه داده Y در مجموعه، سپس به توان دو رساندن این تفاوت‌ها و در نهایت جمع کردن تمام مقادیر مربع‌شده به دست می‌آید. هرچه مجموع این مربعات کوچکتر باشد، تابع بهتر با نقاط داده در مجموعه تطبیق می‌یابد. رگرسیون غیرخطی از توابعی مانند توابع لگاریتمی، مثلثاتی، نمایی، توانی، منحنی‌های لورنز، توابع گوسی و سایر روش‌های تطبیق استفاده می‌کند.

نکات کلیدی

• هم رگرسیون خطی و هم رگرسیون غیرخطی پاسخ‌های Y را از یک متغیر X (یا متغیرهای چندگانه) پیش‌بینی می‌کنند.
• رگرسیون غیرخطی یک تابع منحنی از متغیر X (یا متغیرها) است که برای پیش‌بینی متغیر Y استفاده می‌شود.
• رگرسیون غیرخطی می‌تواند پیش‌بینی رشد جمعیت در طول زمان را نشان دهد.
• مدل‌سازی رگرسیون غیرخطی مشابه رگرسیون خطی است، زیرا هر دو به دنبال ردیابی گرافیکی پاسخ خاصی از مجموعه‌ای از متغیرها هستند. اما مدل‌های غیرخطی پیچیده‌تر از مدل‌های خطی هستند، زیرا تابع از طریق مجموعه‌ای از تقریب‌ها (تکرارها) که ممکن است از روش آزمون و خطا ناشی شوند، ایجاد می‌شود. ریاضیدانان از روش‌های شناخته‌شده‌ای مانند روش گاوس-نیوتن و روش لونبرگ-مارکواردت استفاده می‌کنند.
• اغلب، مدل‌های رگرسیونی که در نگاه اول غیرخطی به نظر می‌رسند، در واقع خطی هستند. روش تخمین منحنی می‌تواند ماهیت روابط تابعی موجود در داده‌ها را شناسایی کند تا بتوان مدل رگرسیون مناسب، چه خطی و چه غیرخطی، را انتخاب کرد. مدل‌های رگرسیون خطی، گرچه معمولاً یک خط مستقیم تشکیل می‌دهند، بسته به شکل معادله رگرسیون خطی می‌توانند منحنی نیز ایجاد کنند. به همین ترتیب، با استفاده از جبر می‌توان یک معادله غیرخطی را به گونه‌ای تبدیل کرد که شبیه یک معادله خطی شود؛ چنین معادله غیرخطی‌ای به عنوان "ذاتاً خطی" شناخته می‌شود.

واقعیت سریع

رگرسیون خطی دو متغیر را با یک خط مستقیم مرتبط می‌کند؛ رگرسیون غیرخطی این ارتباط را با استفاده از یک منحنی برقرار می‌کند.

مثال رگرسیون غیرخطی

یکی از نمونه‌های کاربرد رگرسیون غیرخطی، پیش‌بینی رشد جمعیت در طول زمان است. نمودار پراکندگی داده‌های تغییر جمعیت در طول زمان نشان می‌دهد که رابطه‌ای بین زمان و رشد جمعیت وجود دارد، اما این رابطه غیرخطی است و نیاز به استفاده از یک مدل رگرسیون غیرخطی دارد. یک مدل رشد لجستیک جمعیت می‌تواند تخمین‌هایی از جمعیت برای دوره‌هایی که اندازه‌گیری نشده‌اند ارائه دهد و پیش‌بینی‌هایی از رشد جمعیت در آینده انجام دهد.

متغیرهای مستقل و وابسته مورد استفاده در رگرسیون غیرخطی باید کمی باشند. متغیرهای کیفی، مانند منطقه محل سکونت یا مذهب، باید به صورت متغیرهای دودویی یا انواع دیگر متغیرهای کمی کدگذاری شوند.

برای به دست آوردن نتایج دقیق از مدل رگرسیون غیرخطی، باید اطمینان حاصل کنید که تابعی که مشخص می‌کنید، رابطه بین متغیرهای مستقل و وابسته را به درستی توصیف می‌کند. همچنین، مقادیر اولیه مناسب ضروری هستند. مقادیر اولیه ضعیف ممکن است منجر به عدم همگرایی مدل یا راه‌حلی شوند که تنها به صورت محلی بهینه است، نه به صورت کلی، حتی اگر شکل تابعی مناسب را برای مدل مشخص کرده باشید.