همبستگی چیست؟

همبستگی نشان می‌دهد که دو متغیر مالی چگونه با هم حرکت می‌کنند. متغیرهای مالی می‌توانند دارایی‌هایی مانند قیمت سهام، بازده اوراق قرضه یا شاخص‌های اقتصادی مانند نرخ بهره باشند. جهت حرکت آن‌ها می‌تواند مثبت (در یک جهت) یا منفی (در جهت مخالف) باشد. همبستگی‌ها در مدیریت پیشرفته پرتفوی استفاده می‌شوند و از +1.0 (همبستگی مثبت کامل) تا -1.0 (همبستگی منفی کامل) متغیر هستند. به‌عنوان یک سرمایه‌گذار، همبستگی‌ها می‌توانند به شما کمک کنند تا تصمیمات سرمایه‌گذاری بهتری بگیرید، ریسک خود را کاهش دهید و پرتفوی متنوعی بسازید.

نکات کلیدی

• همبستگی نشان می‌دهد که دو متغیر مالی چگونه نسبت به یکدیگر حرکت می‌کنند.
• همبستگی می‌تواند مثبت یا منفی باشد.
• در امور مالی، همبستگی می‌تواند حرکت یک سهام را با یک شاخص معیار، مانند S&P 500، اندازه‌گیری کند.
• همبستگی ارتباط نزدیکی با تنوع‌بخشی دارد، مفهومی که بیان می‌کند برخی انواع ریسک را می‌توان با سرمایه‌گذاری در دارایی‌های غیرهمبسته کاهش داد.

همبستگی چه چیزی به شما می‌گوید؟ همبستگی قدرت رابطه بین دو متغیر را نشان می‌دهد و به‌صورت عددی توسط ضریب همبستگی بیان می‌شود. مقادیر ضریب همبستگی بین -1.0 و 1.0 قرار دارند.

همبستگی مثبت کامل به این معناست که ضریب همبستگی دقیقاً 1 است. این نشان می‌دهد که وقتی یک دارایی، چه به سمت بالا و چه به سمت پایین حرکت می‌کند، دارایی دیگر به‌طور کامل در همان جهت حرکت می‌کند. همبستگی منفی کامل به این معناست که دو دارایی در جهت مخالف حرکت می‌کنند، در حالی که همبستگی صفر نشان‌دهنده عدم وجود رابطه خطی است.

برای مثال، صندوق‌های سرمایه‌گذاری مشترک با سرمایه بزرگ معمولاً همبستگی مثبت بالایی با شاخص استاندارد اند پورز (S&P) 500 دارند، تقریباً نزدیک به 1. سهام شرکت‌های کوچک نیز معمولاً همبستگی مثبتی با S&P دارند، اما این همبستگی کمتر است، حدود 0.8.

با این حال، قیمت‌های قرارداد اختیار فروش (Put Option) و قیمت سهام پایه آن‌ها معمولاً همبستگی منفی دارند. قرارداد اختیار فروش به دارنده حق می‌دهد، اما او را ملزم نمی‌کند، که مقدار مشخصی از یک دارایی پایه را به قیمت از پیش تعیین‌شده در بازه زمانی مشخص بفروشد.

قراردادهای اختیار فروش با کاهش قیمت سهام پایه سودآورتر می‌شوند. به عبارت دیگر، با افزایش قیمت سهام، قیمت قرارداد اختیار فروش کاهش می‌یابد که نشان‌دهنده یک همبستگی منفی قوی و مستقیم است.

چگونه همبستگی را محاسبه کنیم؟ روش‌های متعددی برای محاسبه همبستگی وجود دارد. رایج‌ترین روش، همبستگی لحظه‌ای محصول پیرسون است که در این مقاله بررسی می‌شود. همبستگی لحظه‌ای محصول پیرسون رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه‌گیری می‌کند و می‌تواند برای هر مجموعه داده‌ای با ماتریس کوواریانس محدود استفاده شود. مراحل محاسبه همبستگی به شرح زیر است:

• داده‌های متغیر X و متغیر Y خود را جمع‌آوری کنید.
• میانگین متغیر X و میانگین متغیر Y را محاسبه کنید.
• میانگین متغیر X را از هر مقدار متغیر X کم کنید. این مرحله را برای متغیر Y تکرار کنید.
• هر تفاوت بین میانگین متغیر X و مقدار متغیر X را در تفاوت متناظر متغیر Y ضرب کنید.
• هر یک از این تفاوت‌ها را به توان دو برسانید و نتایج را جمع کنید.
• ریشه مربع مقدار به‌دست‌آمده در مرحله 5 را محاسبه کنید.
• مقدار مرحله 4 را بر مقدار به‌دست‌آمده در مرحله 6 تقسیم کنید.

مهم برای اجتناب از محاسبات دستی پیچیده، می‌توانید از تابع CORREL در اکسل استفاده کنید.

فرمول همبستگی با استفاده از روش همبستگی لحظه‌ای محصول پیرسون، فرمول زیر می‌تواند برای یافتن ضریب همبستگی (r) استفاده شود:

r = [n × (∑(X,Y) − (∑(X) × ∑(Y)))] / √[(n × ∑(X²) − ∑(X)²) × (n × ∑(Y²) − ∑(Y)²)]

که در آن: r = ضریب همبستگی n = تعداد مشاهدات

مثال همبستگی مدیران سرمایه‌گذاری، معامله‌گران و تحلیلگران محاسبه همبستگی را بسیار مهم می‌دانند، زیرا مزایای کاهش ریسک تنوع‌بخشی به این آمار وابسته است. صفحات گسترده مالی و نرم‌افزارها می‌توانند ارزش همبستگی را به‌سرعت محاسبه کنند.

به‌عنوان یک مثال فرضی، فرض کنید یک تحلیلگر نیاز به محاسبه همبستگی برای دو مجموعه داده زیر دارد:

X: (41, 19, 23, 40, 55, 57, 33) Y: (94, 60, 74, 71, 82, 76, 61)

برای یافتن همبستگی، سه مرحله وجود دارد. ابتدا تمام مقادیر X را جمع کنید تا ∑(X) به دست آید، تمام مقادیر Y را جمع کنید تا ∑(Y) به دست آید و هر مقدار X را در مقدار Y متناظر ضرب کنید و آن‌ها را جمع کنید تا ∑(X,Y) به دست آید:

∑(X) = (41 + 19 + 23 + 40 + 55 + 57 + 33) = 268 ∑(Y) = (94 + 60 + 74 + 71 + 82 + 76 + 61) = 518 ∑(X,Y) = (41 × 94) + (19 × 60) + (23 × 74) + ... (33 × 61) = 20,391

مرحله بعدی این است که هر مقدار X را به توان دو برسانید و تمام این مقادیر را جمع کنید تا ∑(X²) به دست آید. همین کار باید برای مقادیر Y انجام شود:

∑(X²) = (41²) + (19²) + (23²) + ... (33²) = 11,534 ∑(Y²) = (94²) + (60²) + (74²) + ... (61²) = 39,174

با توجه به اینکه تعداد مشاهدات (n) برابر با 7 است، فرمول زیر می‌تواند برای یافتن ضریب همبستگی (r) استفاده شود:

r = [7 × 20,391 − (268 × 518)] / √[(7 × 11,534 − 268²) × (7 × 39,174 − 518²)] = 3,913 / 7,248.4 = 0.54

همبستگی و تنوع‌بخشی پرتفوی در سرمایه‌گذاری، همبستگی در رابطه با پرتفوی متنوع اهمیت زیادی دارد. سرمایه‌گذارانی که مایل به کاهش ریسک هستند می‌توانند با سرمایه‌گذاری در دارایی‌های غیرهمبسته این کار را انجام دهند. برای مثال، فرض کنید یک سرمایه‌گذار سهام شرکت هواپیمایی دارد. اگر صنعت هواپیمایی همبستگی پایینی با صنعت رسانه‌های اجتماعی داشته باشد، سرمایه‌گذار ممکن است تصمیم به سرمایه‌گذاری در سهام رسانه‌های اجتماعی بگیرد، با این درک که تأثیر منفی بر یک صنعت ممکن است بر دیگری اثر نگذارد.

این رویکرد اغلب هنگام سرمایه‌گذاری در کلاس‌های دارایی مختلف به کار گرفته می‌شود. سهام، اوراق قرضه، فلزات گران‌بها، املاک، ارزهای دیجیتال، کالاها و سایر انواع سرمایه‌گذاری‌ها روابط متفاوتی با یکدیگر دارند. در حالی که برخی ممکن است به شدت همبسته باشند، برخی دیگر می‌توانند به‌عنوان یک سپر برای تنوع‌بخشی ریسک عمل کنند اگر همبسته نباشند.

واقعیت سریع ریسکی که می‌توان با تنوع‌بخشی حذف کرد، ریسک غیرسیستماتیک نامیده می‌شود. این نوع ریسک مختص یک شرکت، صنعت یا کلاس دارایی است. سرمایه‌گذاری در دارایی‌های مختلف می‌تواند همبستگی پرتفوی شما را کاهش دهد و قرار گرفتن در معرض ریسک غیرسیستماتیک را کم کند.

ملاحظات ویژه همبستگی اغلب با سایر ملاحظات آماری مرتبط است. معمولاً همبستگی در تحلیل متغیرها با استفاده از آمار ذکر می‌شود.

مقدار P (P-Value) در آمار، مقدار P برای نشان دادن اینکه آیا یافته‌ها از نظر آماری معنادار هستند استفاده می‌شود. ممکن است مشخص شود که دو متغیر همبسته هستند، اما شواهد کافی برای ادعای قوی وجود نداشته باشد. مقدار P بالا نشان می‌دهد که شواهد کافی برای نتیجه‌گیری معنادار وجود دارد که ضریب همبستگی جمعیت با صفر تفاوت دارد.

نمودارهای پراکندگی (Scatterplots) ساده‌ترین راه برای تجسم اینکه آیا دو متغیر همبسته هستند، نمایش گرافیکی آن‌ها با استفاده از نمودار پراکندگی است. هر نقطه در نمودار پراکندگی نشان‌دهنده یک مورد نمونه است. محور X نمودار پراکندگی یکی از متغیرهای مورد آزمایش را نشان می‌دهد، در حالی که محور Y متغیر دیگر را نشان می‌دهد.

ضریب همبستگی دو متغیر اغلب به‌صورت گرافیکی با یک خط خطی که برای نشان دادن رابطه بین دو متغیر ترسیم شده است، نمایش داده می‌شود. اگر دو متغیر همبستگی مثبت داشته باشند، می‌توان یک خط خطی رو به افزایش در نمودار پراکندگی ترسیم کرد. اگر دو متغیر همبستگی منفی داشته باشند، می‌توان یک خط خطی رو به کاهش ترسیم کرد. هرچه رابطه داده‌ها قوی‌تر باشد، هر نقطه داده به این خط نزدیک‌تر خواهد بود.

نمودارهای پراکندگی ممکن است هنگام تحلیل داده‌های پیچیده‌تر که ممکن است روابط متغیری داشته باشند، مفیدتر باشند. برای مثال، دو متغیر ممکن است تا نقطه‌ای همبستگی مثبت داشته باشند و سپس رابطه آن‌ها به همبستگی منفی تبدیل شود. این رابطه غیرخطی ممکن است با استفاده از فرمول‌ها سخت‌تر شناسایی شود، اما هنگام ترسیم در نمودار پراکندگی راحت‌تر قابل‌مشاهده است.

آخرین نکته، نمودارهای پراکندگی می‌توانند همبستگی را به‌راحتی با استفاده از سایه‌بندی تراکم نشان دهند. سایه تراکم یا بیضی تراکم، ناحیه‌ای سایه‌دار در نمودار پراکندگی است که به‌صورت بصری منطقه متراکم‌ترین نقاط داده را نشان می‌دهد. بیضی‌های تراکم اغلب جهت خط همبستگی خطی را منعکس می‌کنند اگر متغیرها مرتبط باشند. در غیر این صورت، بیضی‌های تراکم که دایره‌ای‌تر و بدون جهت مشخص هستند، همبستگی پایین‌تری را نشان می‌دهند.

علت و معلول (Causation) یکی دیگر از مشکلات ذاتی در آمار، تعیین این است که آیا روابط بین دو متغیر ناشی از آن متغیرها هستند. به جمله زیر توجه کنید:

«بیشتر بازیکنان بسکتبال قدبلند هستند. بنابراین اگر بسکتبال بازی کنید، قدبلند خواهید شد.»

واضح است که جمله بالا درست نیست. افرادی که قدبلند هستند و این مزیت را درک می‌کنند ممکن است به بسکتبال گرایش پیدا کنند، زیرا توانایی‌های جسمانی طبیعی آن‌ها برای این ورزش مناسب‌تر است. با این حال، از آنجا که قد و فعالیت در بسکتبال ممکن است همبستگی مثبت داشته باشند، آماردانان و دانشمندان داده باید آگاه باشند که یک رابطه قوی بین دو متغیر ممکن است به دلیل یکی از متغیرها ایجاد نشده باشد.

محدودیت‌های همبستگی مانند سایر جنبه‌های تحلیل آماری، همبستگی می‌تواند به اشتباه تفسیر شود. اندازه‌های نمونه کوچک ممکن است نتایج غیرقابل اعتمادی تولید کنند، حتی اگر به نظر برسد که همبستگی بین دو متغیر قوی است. برعکس، اندازه نمونه کوچک ممکن است نتایج غیرهمبسته‌ای تولید کند در حالی که دو متغیر در واقع مرتبط هستند.

همبستگی ممکن است در صورت وجود یک داده پرت (Outlier) مخدوش شود. همبستگی فقط نشان می‌دهد که یک متغیر چگونه به متغیر دیگر متصل است و ممکن است به‌وضوح نشان ندهد که چگونه یک نمونه یا نتیجه خاص می‌تواند بر ضریب همبستگی تأثیر بگذارد.

همبستگی همچنین ممکن است در صورتی که رابطه بین دو متغیر غیرخطی باشد، به اشتباه تفسیر شود. شناسایی دو متغیر با همبستگی مثبت یا منفی بسیار آسان‌تر است. با این حال، دو متغیر ممکن است همچنان با رابطه‌ای پیچیده‌تر همبسته باشند.

همبستگی چیست؟ همبستگی یک اصطلاح آماری است که درجه‌ای را که دو متغیر با یکدیگر هماهنگ حرکت می‌کنند توصیف می‌کند. اگر دو متغیر در یک جهت حرکت کنند، گفته می‌شود که همبستگی مثبت دارند. اگر در جهت‌های مخالف حرکت کنند، همبستگی منفی دارند.

چرا همبستگی‌ها در امور مالی مهم هستند؟ همبستگی‌ها در امور مالی نقش مهمی ایفا می‌کنند زیرا برای پیش‌بینی روندهای آینده و مدیریت ریسک‌های درون پرتفوی استفاده می‌شوند. امروزه، همبستگی بین دارایی‌ها را می‌توان به‌راحتی با استفاده از برنامه‌های نرم‌افزاری مختلف و خدمات آنلاین محاسبه کرد. همبستگی‌ها، همراه با سایر مفاهیم آماری، نقش مهمی در ایجاد و قیمت‌گذاری مشتقات و سایر ابزارهای مالی پیچیده ایفا می‌کنند.

مثال استفاده از همبستگی چیست؟ همبستگی مفهومی است که به‌طور گسترده در امور مالی مدرن استفاده می‌شود. برای مثال، یک معامله‌گر ممکن است از همبستگی‌های تاریخی برای پیش‌بینی اینکه آیا سهام یک شرکت در پاسخ به تغییر در نرخ‌های بهره یا قیمت کالاها افزایش یا کاهش می‌یابد، استفاده کند. به‌طور مشابه، یک مدیر پرتفوی ممکن است با اطمینان از اینکه دارایی‌های فردی در پرتفوی آن‌ها بیش از حد با یکدیگر همبسته نیستند، ریسک خود را کاهش دهد.

آیا همبستگی بالا بهتر است؟ سرمایه‌گذاران ممکن است ترجیحی در مورد سطح همبستگی در پرتفوی خود داشته باشند. به‌طور کلی، اکثر سرمایه‌گذاران ترجیح می‌دهند همبستگی کمتری داشته باشند، زیرا این امر ریسک پرتفوی آن‌ها را در برابر شرایط مشابه بازار کاهش می‌دهد. با این حال، سرمایه‌گذاران ریسک‌پذیر یا سرمایه‌گذارانی که می‌خواهند پول خود را در یک بخش یا شرکت خاص سرمایه‌گذاری کنند، ممکن است مایل باشند همبستگی بالاتری در پرتفوی خود داشته باشند تا در ازای بازده بالقوه بیشتر.

نتیجه‌گیری همبستگی قدرت رابطه بین دو متغیر مختلف را اندازه‌گیری می‌کند. سرمایه‌گذاران از همبستگی بین دارایی‌های مختلف برای تنوع‌بخشی پرتفوی خود و محافظت در برابر ریسک استفاده می‌کنند. دارایی با همبستگی بالا با بازار معمولاً در دوران رکود اقتصادی ارزش خود را از دست می‌دهد، اما دارایی با همبستگی پایین یا منفی ممکن است ارزش خود را افزایش دهد.