پیش‌بینی بازارها
ضریب همبستگی چیست؟
ضریب همبستگی یک معیار آماری است که قدرت رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه‌گیری می‌کند.
ضریب همبستگی یک معیار آماری است که قدرت رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه‌گیری می‌کند. مقادیر آن از -۱ تا ۱ متغیر است. ضریب همبستگی -۱ نشان‌دهنده یک همبستگی منفی کامل یا معکوس است، به این معنا که با افزایش مقادیر یک سری داده، مقادیر سری دیگر کاهش می‌یابد و بالعکس. ضریب ۱ نشان‌دهنده همبستگی مثبت کامل یا رابطه مستقیم است. ضریب همبستگی ۰ به این معناست که هیچ رابطه خطی وجود ندارد.
ضرایب همبستگی در علم و امور مالی برای ارزیابی میزان ارتباط بین دو متغیر، عامل یا مجموعه داده استفاده می‌شوند. برای مثال، از آنجا که قیمت‌های بالای نفت برای تولیدکنندگان نفت سودمند است، ممکن است فرض شود که همبستگی بین قیمت‌های نفت و بازده آتی سهام شرکت‌های نفتی به شدت مثبت است. با این حال، محاسبه ضریب همبستگی برای این متغیرها بر اساس داده‌های بازار نشان‌دهنده همبستگی متوسط و ناپایدار در دوره‌های طولانی است.
نکات کلیدی
- ضرایب همبستگی برای ارزیابی قدرت ارتباطات بین متغیرهای داده‌ای استفاده می‌شوند.
- رایج‌ترین نوع، به نام "ضریب همبستگی پیرسون"، قدرت و جهت رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه‌گیری می‌کند.
- مقادیر همیشه از -۱ برای یک رابطه کاملاً معکوس یا منفی تا ۱ برای یک همبستگی کاملاً مثبت متغیر است.
- مقادیر در یا نزدیک به صفر نشان‌دهنده عدم وجود رابطه خطی یا همبستگی بسیار ضعیف است.
- مقدار ضریب موردنیاز برای نشان دادن یک ارتباط معنادار به کاربرد بستگی دارد. اهمیت آماری یک همبستگی می‌تواند از ضریب همبستگی و تعداد نقاط داده در نمونه، با فرض توزیع نرمال جمعیت، محاسبه شود.
درک ضریب همبستگی
انواع مختلفی از ضرایب همبستگی برای ارزیابی همبستگی بر اساس ویژگی‌های داده‌های مقایسه‌شده استفاده می‌شوند. رایج‌ترین آن‌ها ضریب پیرسون، معروف به "پیرسون R"، است که قدرت و جهت رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه‌گیری می‌کند.
ضریب پیرسون از یک فرمول آماری ریاضی برای اندازه‌گیری میزان نزدیکی نقاط داده (که مقادیر یک سری داده در محور x و مقادیر متناظر سری دیگر در محور y رسم شده‌اند) به خط بهترین برازش استفاده می‌کند. خط بهترین برازش از طریق تحلیل رگرسیون تعیین می‌شود.
مهم
ضریب همبستگی پیرسون نمی‌تواند ارتباطات غیرخطی بین متغیرها را ارزیابی کند یا بین متغیرهای وابسته و مستقل تمایز قائل شود.
هرچه ضریب از صفر دورتر باشد، چه مثبت و چه منفی، برازش بهتر و همبستگی قوی‌تر است. مقادیر -۱ (برای همبستگی منفی) و ۱ (برای همبستگی مثبت) نشان‌دهنده برازش‌های کامل هستند که در آن‌ها همه نقاط داده در یک خط مستقیم قرار دارند و نشان می‌دهند متغیرها کاملاً همبسته‌اند.
به عبارت دیگر، رابطه آن‌قدر قابل پیش‌بینی است که مقدار یک متغیر می‌تواند از مقدار متناظر متغیر دیگر تعیین شود. هرچه ضریب همبستگی به صفر نزدیک‌تر باشد، همبستگی ضعیف‌تر است تا جایی که در صفر هیچ رابطه خطی وجود ندارد.
ارزیابی قدرت همبستگی بر اساس مقدار ضریب همبستگی بسته به کاربرد متفاوت است. در فیزیک و شیمی، ضریب همبستگی باید کمتر از -۰.۹ یا بیشتر از ۰.۹ باشد تا همبستگی معنادار تلقی شود، در حالی که در علوم اجتماعی این آستانه ممکن است تا -۰.۵ یا ۰.۵ باشد.
برای ضرایب همبستگی حاصل از نمونه‌گیری، تعیین اهمیت آماری به مقدار p-value بستگی دارد که از اندازه نمونه داده و مقدار ضریب محاسبه می‌شود.
فرمول ضریب همبستگی
برای محاسبه همبستگی پیرسون، ابتدا انحراف استاندارد هر متغیر و کوواریانس بین آن‌ها را تعیین کنید. ضریب همبستگی کوواریانس تقسیم بر حاصل‌ضرب انحراف استاندارد دو متغیر است.
که در آن:
- ρ x y \rho_{xy} ρ x y : ضریب همبستگی محصول-لحظه پیرسون
- Cov ( x , y ) \text{Cov}(x,y) Cov ( x , y ) : کوواریانس متغیرهای x x x و y y y
- σ x \sigma_x σ x : انحراف استاندارد x x x
- σ y \sigma_y σ y : انحراف استاندارد y y y
انحراف استاندارد معیاری از پراکندگی داده‌ها نسبت به میانگین آن‌هاست. کوواریانس نشان می‌دهد که آیا دو متغیر تمایل به حرکت در یک جهت دارند، در حالی که ضریب همبستگی قدرت این رابطه را در مقیاس نرمال‌شده از -۱ تا ۱ اندازه‌گیری می‌کند.
فرمول بالا را می‌توان به‌صورت زیر گسترش داد:
که در آن:
- r r r : ضریب همبستگی
- n n n : تعداد مشاهدات
آمار همبستگی و سرمایه‌گذاری
ضریب همبستگی به‌ویژه در ارزیابی و مدیریت ریسک‌های سرمایه‌گذاری مفید است. برای مثال، نظریه پرتفوی مدرن پیشنهاد می‌کند که تنوع‌بخشی می‌تواند نوسانات بازده پرتفوی را کاهش دهد و ریسک را محدود کند. ضریب همبستگی بین بازده‌های تاریخی می‌تواند نشان دهد که آیا افزودن یک سرمایه‌گذاری به پرتفوی تنوع آن را بهبود می‌بخشد.
محاسبات همبستگی همچنین در سرمایه‌گذاری مبتنی بر فاکتور، استراتژی‌ای برای ساخت پرتفوی بر اساس فاکتورهای مرتبط با بازده اضافی، نقش مهمی دارند. در همین حال، معامله‌گران کمی از همبستگی‌های تاریخی و ضرایب همبستگی برای پیش‌بینی تغییرات کوتاه‌مدت در قیمت‌های اوراق بهادار استفاده می‌کنند.
محدودیت‌های ضریب همبستگی پیرسون
همبستگی به معنای علیت نیست، همان‌طور که گفته می‌شود، و ضریب پیرسون نمی‌تواند تعیین کند که آیا یکی از متغیرهای همبسته به دیگری وابسته است یا خیر.
همچنین ضریب همبستگی نشان نمی‌دهد که چه نسبتی از تغییرات متغیر وابسته به متغیر مستقل نسبت داده می‌شود. این توسط ضریب تعیین (R-squared)، که به سادگی مربع ضریب همبستگی است، نشان داده می‌شود.
ضریب همبستگی همچنین شیب خط بهترین برازش را توصیف نمی‌کند؛ شیب را می‌توان با روش حداقل مربعات در تحلیل رگرسیون تعیین کرد.
ضریب همبستگی پیرسون نمی‌تواند برای ارزیابی ارتباطات غیرخطی یا ارتباطات ناشی از داده‌های نمونه‌ای که تابع توزیع نرمال نیستند، استفاده شود. همچنین می‌تواند توسط نقاط پرت—نقاط داده‌ای که بسیار خارج از پراکندگی توزیع هستند—تحریف شود.
این روابط می‌توانند با استفاده از روش‌های غیرپارامتریک مانند ضریب همبستگی اسپیرمن، ضریب همبستگی رتبه کندال یا ضریب همبستگی پلی‌کوریک تحلیل شوند.
یافتن ضرایب همبستگی در اکسل
چندین روش برای محاسبه همبستگی در اکسل وجود دارد. ساده‌ترین راه این است که دو سری داده را در ستون‌های مجاور وارد کنید و از فرمول همبستگی داخلی استفاده کنید.
اگر می‌خواهید یک ماتریس همبستگی برای مجموعه‌ای از داده‌ها ایجاد کنید، اکسل یک افزونه تحلیل داده دارد. برای استفاده از آن، ابتدا باید افزونه ToolPak تحلیل داده را فعال کنید. این کار می‌تواند با کلیک روی "فایل" و سپس "گزینه‌ها" انجام شود که کادر گفت‌وگوی گزینه‌های اکسل را باز می‌کند. در کادر، روی "افزونه‌ها" کلیک کنید و سپس در منوی کشویی "مدیریت"، "افزونه‌های اکسل" را انتخاب کرده و روی "برو" کلیک کنید. این کار باعث ظاهر شدن کادر افزونه‌ها می‌شود. کادر "تحلیل ToolPak" را علامت بزنید و سپس روی "تأیید" کلیک کنید. فرآیند فعال‌سازی باید کامل شود.
برای استفاده از افزونه تحلیل داده، روی نوار "داده" کلیک کنید و سپس "تحلیل داده" را انتخاب کنید که کادری را باز می‌کند. در کادر، روی "همبستگی" کلیک کنید و سپس "تأیید" را انتخاب کنید. کادر همبستگی اکنون باز می‌شود و می‌توانید محدوده‌های ورودی را به‌صورت دستی یا با انتخاب سلول‌های مربوطه وارد کنید.
در این مورد، ستون‌های ما دارای عنوان هستند، بنابراین باید کادر "برچسب‌ها در ردیف اول" را علامت بزنیم تا اکسل بداند که این‌ها عنوان هستند. سپس می‌توانید انتخاب کنید که خروجی در همان شیت یا شیت جدید باشد.
فشار دادن کلید Enter ماتریس همبستگی را تولید می‌کند. می‌توانید با افزودن متن و قالب‌بندی شرطی، نتیجه را مرتب کنید.
آیا R و R2 یکسان هستند؟
خیر، R و R2 هنگام تحلیل ضرایب یکسان نیستند. R نشان‌دهنده مقدار ضریب همبستگی پیرسون است که برای نشان دادن قدرت و جهت بین متغیرها استفاده می‌شود، در حالی که R2 نشان‌دهنده ضریب تعیین است که قدرت یک مدل را تعیین می‌کند.
چگونه ضریب همبستگی را محاسبه می‌کنید؟
ضریب همبستگی با تعیین کوواریانس متغیرها و تقسیم آن عدد بر حاصل‌ضرب انحراف استانداردهای آن متغیرها محاسبه می‌شود.
ضریب همبستگی در سرمایه‌گذاری چگونه استفاده می‌شود؟
ضرایب همبستگی نقش کلیدی در ارزیابی ریسک پرتفوی و استراتژی‌های معاملاتی کمی دارند. برای مثال، برخی مدیران پرتفوی ضرایب همبستگی دارایی‌های خود را نظارت می‌کنند تا نوسانات و ریسک پرتفوی را محدود کنند.
نتیجه‌گیری
ضریب همبستگی توصیف می‌کند که چگونه یک متغیر نسبت به متغیر دیگر حرکت می‌کند. همبستگی مثبت نشان می‌دهد که هر دو در یک جهت حرکت می‌کنند، با مقدار ۱ که نشان‌دهنده همبستگی مثبت کامل است. مقدار -۱ نشان‌دهنده همبستگی منفی کامل یا معکوس است، در حالی که ۰ به این معناست که هیچ همبستگی خطی وجود ندارد.