مدل بلک-شولز چیست؟

مدل بلک-شولز یکی از مهم‌ترین مفاهیم در نظریه مالی مدرن است. این مدل که به نام بلک-شولز-مرتون (BSM) نیز شناخته می‌شود، برای تعیین ارزش منصفانه قراردادهای اختیار معامله استفاده می‌شود.

این معادله ریاضی ارزش نظری مشتقات را بر اساس سایر ابزارهای سرمایه‌گذاری تخمین می‌زند. این مدل تأثیر زمان و سایر عوامل ریسک را در محاسبات خود در نظر می‌گیرد.

این مدل در سال ۱۹۷۳ توسعه یافت و همچنان به‌عنوان یکی از بهترین روش‌ها برای قیمت‌گذاری قراردادهای اختیار معامله شناخته می‌شود.

نکات کلیدی

• مدل بلک-شولز که به نام بلک-شولز-مرتون یا BSM نیز شناخته می‌شود.
• این یک معادله دیفرانسیل است که به‌طور گسترده برای قیمت‌گذاری قراردادهای اختیار معامله استفاده می‌شود.
• مدل بلک-شولز به پنج متغیر ورودی نیاز دارد: قیمت اعمال اختیار معامله، قیمت کنونی سهام، زمان تا انقضا، نرخ بهره بدون ریسک و نوسانات.
• مدل بلک-شولز معمولاً دقیق است، اما فرضیاتی را در نظر می‌گیرد که می‌تواند منجر به پیش‌بینی‌هایی شود که از نتایج واقعی منحرف می‌شوند.
• مدل استاندارد BSM تنها برای قیمت‌گذاری اختیار معاملات به سبک اروپایی استفاده می‌شود، زیرا این مدل در نظر نمی‌گیرد که اختیار معاملات به سبک آمریکایی می‌توانند قبل از تاریخ انقضا اعمال شوند.

تاریخچه مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز در سال ۱۹۷۳ توسط فیشر بلک، رابرت مرتون و مایرون شولز توسعه یافت و اولین روش ریاضی پرکاربرد برای محاسبه ارزش نظری یک قرارداد اختیار معامله بود.

این مدل از قیمت‌های کنونی سهام، سودهای مورد انتظار، قیمت اعمال اختیار معامله، نرخ‌های بهره مورد انتظار، زمان تا انقضا و نوسانات مورد انتظار استفاده می‌کند.

معادله اولیه در مقاله‌ای توسط بلک و شولز در سال ۱۹۷۳ با عنوان «قیمت‌گذاری اختیار معاملات و بدهی‌های شرکتی» که در ژورنال اقتصاد سیاسی منتشر شد، معرفی شد.

رابرت سی. مرتون به ویرایش این مقاله کمک کرد. او بعداً در همان سال مقاله‌ای با عنوان «نظریه قیمت‌گذاری منطقی اختیار معامله» در ژورنال اقتصاد و مدیریت بل منتشر کرد. او درک ریاضی و کاربردهای این مدل را گسترش داد و اصطلاح «نظریه قیمت‌گذاری اختیار معاملات بلک-شولز» را ابداع کرد.

شولز و مرتون در سال ۱۹۹۷ جایزه یادبود نوبل در علوم اقتصادی را برای کارشان در یافتن «روش جدیدی برای تعیین ارزش مشتقات» دریافت کردند.

بلک دو سال قبل درگذشته بود، بنابراین نمی‌توانست دریافت‌کننده جایزه باشد، زیرا جوایز نوبل به‌صورت پسامرگ اعطا نمی‌شوند. با این حال، کمیته نوبل نقش او را در مدل بلک-شولز تصدیق کرد.

نحوه عملکرد مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز فرض می‌کند که ابزارهایی مانند سهام یا قراردادهای آتی دارای توزیع لگاریتمی-نرمال قیمت‌ها هستند که از یک حرکت تصادفی با رانش و نوسانات ثابت پیروی می‌کنند.

این معادله از این فرض استفاده می‌کند و با در نظر گرفتن سایر متغیرهای مهم، قیمت یک اختیار معامله به سبک اروپایی را محاسبه می‌کند.

معادله بلک-شولز به شش متغیر نیاز دارد:

• نوسانات
• قیمت دارایی پایه
• قیمت اعمال اختیار معامله
• زمان تا انقضای اختیار معامله
• نرخ بهره بدون ریسک
• نوع اختیار معامله (خرید یا فروش)

از نظر تئوری، فروشندگان اختیار معامله می‌توانند با استفاده از این متغیرها قیمت‌های منطقی برای اختیار معاملاتی که می‌فروشند تعیین کنند.

این مدل پیش‌بینی می‌کند که قیمت دارایی‌های با حجم معاملات بالا از یک حرکت براونی هندسی با رانش و نوسانات ثابت پیروی می‌کند.

این مدل هنگام اعمال بر اختیار معامله سهام، تغییرات ثابت قیمت سهام، ارزش زمانی پول، قیمت اعمال اختیار معامله و زمان تا انقضای اختیار معامله را در نظر می‌گیرد.

حقیقت سریع: مدل بلک-شولز اغلب در مقابل مدل دوجمله‌ای یا شبیه‌سازی مونت‌کارلو مقایسه می‌شود.

فرضیات مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز فرضیات خاصی را در نظر می‌گیرد:

• هیچ سود سهامی در طول عمر اختیار معامله پرداخت نمی‌شود.
• بازارها تصادفی هستند، زیرا حرکات بازار قابل پیش‌بینی نیستند.
• هیچ هزینه معاملاتی برای خرید اختیار معامله وجود ندارد.
• نرخ بهره بدون ریسک و نوسانات دارایی پایه شناخته‌شده و ثابت هستند.
• بازده دارایی پایه به‌صورت نرمال توزیع شده است.
• اختیار معامله به سبک اروپایی است و تنها در زمان انقضا قابل اعمال است.

مدل اولیه بلک-شولز اثرات سودهای سهامی پرداخت‌شده در طول عمر اختیار معامله را در نظر نمی‌گرفت، اما این مدل اغلب برای در نظر گرفتن سود سهام با تعیین ارزش سهام در تاریخ بدون سود سهام تطبیق داده می‌شود.

این مدل همچنین توسط بسیاری از بازارسازان فروش اختیار معامله برای در نظر گرفتن اثر اختیارهایی که می‌توانند قبل از انقضا اعمال شوند، اصلاح می‌شود.

نکته مهم: شرکت‌ها به‌جای مدل بلک-شولز، از مدل‌های دوجمله‌ای یا سه‌جمله‌ای یا مدل بی‌یرکسوند-استنسلند برای قیمت‌گذاری اختیار معاملات به سبک آمریکایی که بیشتر معامله می‌شوند، استفاده می‌کنند.

فرمول مدل بلک-شولز

ریاضیات موجود در فرمول پیچیده و می‌تواند ترسناک باشد، اما برای استفاده از مدل‌سازی بلک-شولز در استراتژی‌های خود نیازی به دانستن یا حتی درک ریاضیات ندارید.

معامله‌گران اختیار معامله به انواع ماشین‌حساب‌های آنلاین اختیار معامله دسترسی دارند و بسیاری از پلتفرم‌های معاملاتی دارای ابزارهای تحلیل اختیار معامله قوی هستند که شامل شاخص‌ها و صفحات گسترده‌ای است که محاسبات را انجام داده و مقادیر قیمت‌گذاری اختیار معامله را خروجی می‌دهند.

فرمول اختیار خرید بلک-شولز با ضرب قیمت سهام در تابع توزیع احتمال نرمال استاندارد تجمعی محاسبه می‌شود.

سپس ارزش فعلی خالص (NPV) قیمت اعمال ضرب‌شده در توزیع نرمال استاندارد تجمعی از نتیجه محاسبه قبلی کسر می‌شود.

C = S N(d₁) − K e^(−rt) N(d₂) که در آن: d₁ = [ln(S/K) + (r + σ_v²/2)t] / (σ_s √t) و d₂ = d₁ − σ_s √t

و که در آن: C: قیمت اختیار خرید S: قیمت کنونی سهام (یا سایر دارایی‌های پایه) K: قیمت اعمال r: نرخ بهره بدون ریسک t: زمان تا سررسید N: توزیع نرمال

کجی نوسانات (Volatility Skew)

مدل بلک-شولز فرض می‌کند که قیمت‌های سهام از یک توزیع لگاریتمی-نرمال پیروی می‌کنند، زیرا قیمت‌های دارایی نمی‌توانند منفی باشند و توسط صفر محدود می‌شوند.

قیمت‌های دارایی اغلب کجی قابل‌توجهی به سمت راست و مقداری کُرتوزیس یا دم‌های چاق دارند. حرکات نزولی پرریسک اغلب بیشتر از آنچه توزیع نرمال پیش‌بینی می‌کند در بازار رخ می‌دهند.

طبق مدل بلک-شولز، فرض توزیع لگاریتمی-نرمال قیمت‌های دارایی پایه باید نشان دهد که نوسانات ضمنی برای هر قیمت اعمال مشابه است.

با این حال، از زمان سقوط بازار در سال ۱۹۸۷، نوسانات ضمنی برای اختیار معاملات در پول (at-the-money) کمتر از آن‌هایی بوده که خارج از پول (out of the money) یا عمیقاً در پول (far in the money) هستند. بازار احتمال بیشتری برای حرکت با نوسان بالا به سمت پایین در بازارها در نظر می‌گیرد.

این امر منجر به وجود کجی نوسانات شده است. هنگامی که نوسانات ضمنی برای اختیار معاملاتی با همان تاریخ انقضا روی یک نمودار ترسیم می‌شود، شکل لبخند یا کج دیده می‌شود.

بنابراین، مدل بلک-شولز برای محاسبه نوسانات ضمنی کارآمد نیست.

مزایا و محدودیت‌های مدل بلک-شولز

مزایا:

• به‌عنوان یک چارچوب پایدار مبتنی بر یک روش تعریف‌شده عمل می‌کند.
• به سرمایه‌گذاران امکان می‌دهد تا با درک بهتر مواجهه، ریسک را کاهش دهند.
• می‌تواند برای طراحی استراتژی‌هایی برای ایجاد پرتفوی بر اساس ترجیحات سرمایه‌گذار استفاده شود.
• محاسبات و گزارش‌دهی ارقام را ساده و بهبود می‌بخشد.

محدودیت‌ها:

• همه انواع اختیار معاملات را در نظر نمی‌گیرد.
• ممکن است به دلیل پیش‌بینی‌های آینده‌ای یک اوراق بهادار، انعطاف‌پذیری جریان نقدی را نداشته باشد.
• ممکن است فرضیات نادرستی درباره نوسانات پایدار آینده داشته باشد.
• به چندین فرض دیگر وابسته است که ممکن است به قیمت واقعی اوراق بهادار منجر نشود.

مزایای مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز به دلیل مزایای متعددی که ارائه می‌دهد، با موفقیت توسط بسیاری از حرفه‌ای‌های مالی اجرا و استفاده شده است.

• ارائه چارچوب: مدل بلک-شولز یک چارچوب نظری برای قیمت‌گذاری اختیار معاملات فراهم می‌کند. این امکان را به سرمایه‌گذاران و معامله‌گران می‌دهد تا با استفاده از یک روش ساختاریافته و تعریف‌شده که آزمایش شده است، قیمت منصفانه یک اختیار معامله را تعیین کنند.
• مدیریت ریسک: سرمایه‌گذاران می‌توانند از مدل بلک-شولز برای مدیریت مواجهه ریسک خود با دارایی‌های مختلف با دانستن ارزش نظری یک اختیار معامله استفاده کنند. بنابراین، این مدل نه‌تنها برای ارزیابی بازده‌های بالقوه، بلکه برای درک ضعف‌های پرتفوی و نواحی سرمایه‌گذاری ناکافی مفید است.
• بهینه‌سازی پرتفوی: مدل بلک-شولز می‌تواند برای بهینه‌سازی پرتفوی‌ها با ارائه معیاری از بازده‌ها و ریسک‌های مورد انتظار مرتبط با اختیار معاملات مختلف استفاده شود. این امکان را به سرمایه‌گذاران می‌دهد تا انتخاب‌های هوشمندانه‌تری داشته باشند که با تحمل ریسک و پیگیری سود آن‌ها هم‌راستا باشد.
• افزایش کارایی بازار: مدل بلک-شولز به افزایش کارایی و شفافیت بازار منجر شده است، زیرا معامله‌گران و سرمایه‌گذاران بهتر می‌توانند اختیار معاملات را قیمت‌گذاری و معامله کنند. این امر فرآیند قیمت‌گذاری را ساده می‌کند، زیرا درک ضمنی بیشتری از نحوه استخراج قیمت‌ها وجود دارد.
• ساده‌سازی قیمت‌گذاری: مدل بلک-شولز به‌طور گسترده توسط فعالان صنعت مالی پذیرفته و استفاده شده است، که امکان سازگاری و قابلیت مقایسه بیشتر در بازارها و حوزه‌های قضایی را فراهم می‌کند.

محدودیت‌های مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز به‌طور گسترده استفاده می‌شود، اما همچنان برخی معایب دارد.

• محدودیت در کاربرد: مدل بلک-شولز تنها برای قیمت‌گذاری اختیار معاملات به سبک اروپایی استفاده می‌شود. این مدل در نظر نمی‌گیرد که اختیار معاملات آمریکایی می‌توانند قبل از تاریخ انقضا اعمال شوند.
• عدم انعطاف‌پذیری جریان نقدی: این مدل فرض می‌کند که سود سهام و نرخ‌های بدون ریسک ثابت هستند، اما این ممکن است در واقعیت صادق نباشد. بنابراین، مدل بلک-شولز ممکن است توانایی بازتاب دقیق جریان نقدی آینده یک سرمایه‌گذاری را به دلیل سختی مدل نداشته باشد.
• فرض نوسانات ثابت: این مدل همچنین فرض می‌کند که نوسانات در طول عمر اختیار معامله ثابت می‌ماند. این اغلب صادق نیست، زیرا نوسانات با سطح عرضه و تقاضا تغییر می‌کند.
• فرضیات گمراه‌کننده: مدل بلک-شولز همچنین به فرضیات دیگری وابسته است. این‌ها شامل موارد زیر است: هیچ هزینه معاملاتی یا مالیاتی وجود ندارد، نرخ بهره بدون ریسک برای تمام سررسیدها ثابت است، فروش کوتاه اوراق بهادار با استفاده از عواید مجاز است، و هیچ فرصت آربیتراژی بدون ریسک وجود ندارد. هر یک از این فرضیات می‌تواند منجر به قیمت‌هایی شود که از نتایج واقعی منحرف می‌شوند.

مدل بلک-شولز چه می‌کند؟

مدل بلک-شولز، که به نام بلک-شولز-مرتون (BSM) نیز شناخته می‌شود، اولین مدل پرکاربرد برای قیمت‌گذاری اختیار معامله بود. این معادله قیمت یک اختیار خرید به سبک اروپایی را بر اساس متغیرهای شناخته‌شده‌ای مانند قیمت کنونی، تاریخ سررسید و قیمت اعمال، با توجه به فرضیاتی درباره رفتار قیمت دارایی‌ها محاسبه می‌کند.

این کار را با کسر ارزش فعلی خالص (NPV) قیمت اعمال ضرب‌شده در توزیع نرمال استاندارد تجمعی از حاصل‌ضرب قیمت سهام و تابع توزیع احتمال نرمال استاندارد تجمعی انجام می‌دهد.

ورودی‌های مدل بلک-شولز چیست؟

ورودی‌های معادله بلک-شولز شامل نوسانات، قیمت دارایی پایه، قیمت اعمال اختیار معامله، زمان تا انقضای اختیار معامله، نرخ بهره بدون ریسک و نوع اختیار معامله است. از نظر تئوری، فروشندگان اختیار معامله می‌توانند با استفاده از این متغیرها قیمت‌های منطقی برای اختیار معاملاتی که می‌فروشند تعیین کنند.

مدل بلک-شولز چه فرضیاتی دارد؟

مدل اولیه بلک-شولز فرض می‌کند که اختیار معامله به سبک اروپایی است و تنها در زمان انقضا قابل اعمال است.

همچنین فرض می‌کند که هیچ سود سهامی در طول عمر اختیار معامله پرداخت نمی‌شود، حرکات بازار از یک حرکت تصادفی پیروی می‌کنند و قابل پیش‌بینی نیستند، هیچ هزینه معاملاتی برای خرید اختیار معامله وجود ندارد، نرخ بهره بدون ریسک و نوسانات اختیار معامله پایه شناخته‌شده و ثابت هستند، و قیمت‌های دارایی پایه از یک توزیع لگاریتمی-نرمال پیروی می‌کنند.

محدودیت‌های مدل بلک-شولز چیست؟

مدل بلک-شولز تنها برای قیمت‌گذاری اختیار معاملات به سبک اروپایی استفاده می‌شود. این مدل در نظر نمی‌گیرد که اختیار معاملات آمریکایی می‌توانند قبل از تاریخ انقضا اعمال شوند. این مدل همچنین فرض می‌کند که سود سهام، نوسانات و نرخ‌های بدون ریسک در طول عمر اختیار معامله ثابت می‌مانند. در نظر نگرفتن مالیات‌ها، کمیسیون‌ها یا هزینه‌های معاملاتی نیز می‌تواند منجر به ارزش‌گذاری‌هایی شود که از نتایج واقعی منحرف می‌شوند.

نتیجه‌گیری

مدل بلک-شولز یک مدل ریاضی است که برای محاسبه قیمت منصفانه یا ارزش نظری یک دارایی استفاده می‌شود.

این مدل راهی برای محاسبه ارزش نظری یک اختیار معامله فراهم می‌کند با در نظر گرفتن قیمت کنونی دارایی پایه، نوع اختیار معامله، قیمت اعمال اختیار معامله، زمان باقی‌مانده تا انقضا، نرخ بهره بدون ریسک و نوسانات دارایی پایه.

مدل بلک-شولز تأثیر عمیقی بر مالی داشته و به توسعه طیف گسترده‌ای از محصولات مشتقه مانند آتی‌ها، سوآپ‌ها و اختیار معاملات منجر شده است.