قضیه بیز چیست؟

قضیه بیز (Bayes' Theorem) فرمولی است که برای محاسبه احتمال یک نتیجه با توجه به نتیجه قبلی شناخته‌شده‌ای که در شرایط مشابه رخ داده است، استفاده می‌شود.

قضیه بیز چیست؟

قضیه بیز یک فرمول ریاضی برای تعیین احتمال شرطی است. احتمال شرطی، احتمال وقوع یک نتیجه با توجه به نتیجه قبلی در شرایط مشابه است. بنابراین، قضیه بیز راهی برای اصلاح یا به‌روزرسانی یک پیش‌بینی یا نظریه موجود با توجه به شواهد جدید فراهم می‌کند.

در امور مالی، قضیه بیز می‌تواند برای ارزیابی یا بازنگری ریسک وام‌دهی به یک وام‌گیرنده بالقوه استفاده شود.

قضیه بیز به نام ریاضیدان بریتانیایی قرن هجدهم، توماس بیز، نام‌گذاری شده است. این قضیه همچنین به عنوان قانون بیز یا قاعده بیز شناخته می‌شود و پایه و اساس حوزه آمار بیزی است.

نکات کلیدی

• قضیه بیز می‌تواند برای اصلاح تحلیل احتمال بر اساس اطلاعات جدید استفاده شود.
• این قضیه اغلب در امور مالی برای محاسبه یا به‌روزرسانی ارزیابی ریسک به کار می‌رود.
• در زمینه‌های دیگر، مانند تحلیل نتایج آزمایش‌های پزشکی، به طور گسترده استفاده می‌شود.

درک قضیه بیز

کاربردهای قضیه بیز گسترده است و محدود به حوزه مالی نیست. برای مثال، قضیه بیز می‌تواند برای تعیین دقت نتایج آزمایش‌های پزشکی با در نظر گرفتن احتمال ابتلای یک فرد به بیماری و دقت کلی آزمایش استفاده شود. قضیه بیز بر ترکیب توزیع‌های احتمال پیشین برای تولید احتمالات پسین تکیه دارد.

در استنتاج آماری بیزی، احتمال پیشین، احتمال وقوع یک رویداد قبل از جمع‌آوری داده‌های جدید است. به عبارت دیگر، این احتمال بهترین ارزیابی منطقی از احتمال یک نتیجه خاص بر اساس دانش کنونی قبل از انجام آزمایش را نشان می‌دهد.

احتمال پسین، احتمال اصلاح‌شده وقوع یک رویداد پس از در نظر گرفتن اطلاعات جدید است. احتمال پسین با به‌روزرسانی احتمال پیشین با استفاده از قضیه بیز محاسبه می‌شود. به عبارت دیگر، احتمال پسین، احتمال وقوع رویداد A است، با فرض اینکه رویداد B رخ داده است.

ملاحظات ویژه

قضیه بیز احتمال یک رویداد را بر اساس اطلاعات جدیدی که با آن رویداد مرتبط است یا ممکن است مرتبط باشد، ارائه می‌دهد. این فرمول همچنین می‌تواند برای تعیین چگونگی تأثیر اطلاعات جدید فرضی بر احتمال وقوع یک رویداد استفاده شود، با فرض اینکه اطلاعات جدید درست باشد.

مثال: دسته کارت

فرض کنید یک کارت از یک دسته کامل 52 کارتی کشیده شود. در این دسته 4 پادشاه وجود دارد، بنابراین احتمال اینکه کارت یک پادشاه باشد، 4 تقسیم بر 52 است که برابر با 1/13 یا تقریباً 7.69٪ است. حالا فرض کنید مشخص شود که کارت انتخاب‌شده یک کارت چهره‌دار (face card) است. احتمال اینکه کارت انتخاب‌شده یک پادشاه باشد، با توجه به اینکه یک کارت چهره‌دار است، 4 تقسیم بر 12 یا تقریباً 33.3٪ است، زیرا 12 کارت چهره‌دار در یک دسته وجود دارد.

فرمول قضیه بیز

که در آن:

• P ( A ) P(A) P ( A ) : احتمال وقوع A
• P ( B ) P(B) P ( B ) : احتمال وقوع B
• P ( A ∣ B ) P(A|B) P ( A ∣ B ) : احتمال وقوع A با فرض وقوع B
• P ( B ∣ A ) P(B|A) P ( B ∣ A ) : احتمال وقوع B با فرض وقوع A
• P ( A ∩ B ) P(A \cap B) P ( A ∩ B ) : احتمال وقوع همزمان A و B

مثال‌های قضیه بیز

در زیر دو مثال از قضیه بیز ارائه شده است. مثال اول نشان می‌دهد که چگونه فرمول می‌تواند از یک مثال سرمایه‌گذاری در سهام شرکت آمازون (AMZN) استخراج شود. مثال دوم قضیه بیز را در آزمایش دارویی داروسازی به کار می‌برد.

استخراج فرمول قضیه بیز

قضیه بیز از اصول احتمال شرطی ناشی می‌شود، که احتمال وقوع یک رویداد با توجه به وقوع رویداد دیگر است. برای مثال، یک سؤال احتمال ساده ممکن است بپرسد: "احتمال افت قیمت سهام آمازون چیست؟" احتمال شرطی این سؤال را یک گام جلوتر می‌برد و می‌پرسد: "احتمال افت قیمت سهام آمازون با توجه به افت قبلی شاخص صنعتی داو جونز (DJIA) چیست؟"

احتمال شرطی A، با فرض وقوع B، می‌تواند به‌صورت زیر بیان شود:

اگر A باشد: "قیمت AMZN افت کند"، آنگاه P ( A M Z N ) P(AMZN) P ( A MZN ) احتمال افت AMZN است؛ و B باشد: "DJIA قبلاً افت کرده است"، و P ( D J I A ) P(DJIA) P ( D J I A ) احتمال افت DJIA است؛ آنگاه عبارت احتمال شرطی به این صورت خوانده می‌شود: "احتمال افت AMZN با توجه به کاهش DJIA برابر است با احتمال افت قیمت AMZN و کاهش DJIA تقسیم بر احتمال کاهش در شاخص DJIA."

P ( A M Z N ∩ D J I A ) P(AMZN \cap DJIA) P ( A MZN ∩ D J I A ) احتمال وقوع همزمان A و B است. این همان احتمال وقوع A ضرب در احتمال وقوع B با فرض وقوع A است، که به صورت P ( A M Z N ) × P ( D J I A ∣ A M Z N ) P(AMZN) \times P(DJIA|AMZN) P ( A MZN ) × P ( D J I A ∣ A MZN ) بیان می‌شود. این واقعیت که این دو عبارت برابر هستند، منجر به قضیه بیز می‌شود که به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

اگر:

آنگاه:

P ( A M Z N ) P(AMZN) P ( A MZN ) و P ( D J I A ) P(DJIA) P ( D J I A ) احتمالاتی هستند که آمازون و داو به‌صورت مستقل از یکدیگر افت کرده‌اند.

این فرمول رابطه بین احتمال فرضیه قبل از مشاهده شواهد P ( A M Z N ) P(AMZN) P ( A MZN ) و احتمال فرضیه پس از دریافت شواهد P ( A M Z N ∣ D J I A ) P(AMZN|DJIA) P ( A MZN ∣ D J I A ) را با توجه به فرضیه‌ای برای آمازون با شواهد در داو توضیح می‌دهد.

مثال عددی قضیه بیز

به‌عنوان یک مثال عددی، فرض کنید یک آزمایش دارویی وجود دارد که 98٪ دقیق است، به این معنا که 98٪ اوقات نتیجه مثبت واقعی را برای فردی که از دارو استفاده می‌کند نشان می‌دهد، و 98٪ اوقات نتیجه منفی واقعی را برای افرادی که از دارو استفاده نمی‌کنند نشان می‌دهد.

فرض کنید 0.5٪ از افراد از این دارو استفاده می‌کنند. اگر فردی به‌صورت تصادفی انتخاب شود و آزمایش برای دارو مثبت شود، محاسبه زیر می‌تواند برای تعیین احتمال اینکه فرد واقعاً مصرف‌کننده دارو باشد انجام شود، که در آن اصطلاحات عبارتند از:

• A = احتمال اینکه نتیجه آزمایش مثبت درست باشد
• B = درصد افرادی که از دارو استفاده می‌کنند
• A × B = احتمال اینکه نتیجه آزمایش مثبت درست باشد
• (1 - A) × (1 - B) = احتمال اینکه نتیجه آزمایش منفی درست باشد

فرمول به این صورت خواهد بود:

با استفاده از مقادیر، محاسبه به این صورت است:

قضیه بیز نشان می‌دهد که حتی اگر فردی در این سناریو آزمایش مثبت داشته باشد، 19.76٪ احتمال دارد که فرد دارو مصرف کند و 80.24٪ احتمال دارد که مصرف نکند.

قانون بیز برای چه استفاده می‌شود؟

قانون بیز برای به‌روزرسانی یک احتمال با یک متغیر شرطی به‌روز شده استفاده می‌شود. تحلیلگران سرمایه‌گذاری از آن برای پیش‌بینی احتمالات در بازار سهام استفاده می‌کنند، اما در بسیاری از زمینه‌های دیگر نیز استفاده می‌شود.

چرا قضیه بیز این‌قدر قدرتمند است؟

از نظر ریاضی، قضیه بیز نشان می‌دهد که دو احتمال برابر هستند. در آمار، سرمایه‌گذاری یا زمینه‌های دیگر، قضیه بیز امکان مشاهده احتمالات شرطی را فراهم می‌کند. این به این معناست که می‌توانید احتمال وقوع چیزی را با در نظر گرفتن یک اطلاعات اضافی (شرط) محاسبه کنید.

چگونه می‌دانید چه زمانی از قضیه بیز استفاده کنید؟

اگر نیاز دارید احتمال وقوع چیزی را با توجه به وجود شرط دیگری که می‌تواند بر وقوع آن تأثیر بگذارد تعیین کنید، از قضیه بیز استفاده می‌کنید.

نتیجه‌گیری

قضیه بیز به شما امکان می‌دهد احتمال وقوع چیزی را زمانی که چیز دیگری در نظر گرفته می‌شود، ارزیابی کنید.

برای مثال، این قضیه نتیجه آزمایش را می‌گیرد و آن را به احتمال شرطی نتیجه آزمایش با توجه به سایر رویدادهای مرتبط مرتبط می‌کند. برای مثبت کاذب‌های با احتمال بالا، این قضیه احتمال منطقی‌تری برای یک نتیجه خاص ارائه می‌دهد.